证明一个向量组的任一线性无关部分组都可扩充成它的一个极大线性部分组

题目

证明一个向量组的任一线性无关部分组都可扩充成它的一个极大线性部分组

相似考题

1.线性方程组Ax=o只有零解的充分必要条件是()A、A的行向量组线性无关B、A的行向量组线性相关C、A的列向量组线性无关D、A的列向量组线性相关

2.（2）将其余向量表示为该极大线性无关组的线性组合.

3.什么是向量组的极大线性无关组?

4.设向量组α1=（1，2，3，6），α2=（1，-1，2，4），α3=（-1，1，-2，-8），α4=（1，2，3，2）.（1）求该向量组的一个极大线性无关组；

参考答案和解析
正确
更多“证明一个向量组的任一线性无关部分组都可扩充成它的一个极大线性部分组”相关问题

  • 第1题：

    设A为m×n阶矩阵，则齐次线性方程组AX=0只有零解的充分必要条件是(64)。

    A．A的列向量组线性无关

    B．A的列向量组线性相关

    C．A的行向量组线性无关

    D．A的行向量组线性相关

    A.A的列向量组线性无关

    B.A的列向量组线性相关

    C.A的行向量组线性无关

    D.A的行向量组线性相关


    正确答案：A
    解析：齐次线性方程组AX=0只有零解的充分必要条件是A的列向量组线性无关

  • 第2题：

    设A为m×n矩阵，则齐次线性方程组Ax＝0有非零解的充分必要条件是（　　）。

    A、矩阵A的任意两个列向量线性相关
    B、矩阵A的任意两个列向量线性无关
    C、矩阵A的任一列向量是其余列向量的线性组合
    D、矩阵A必有一个列向量是其余列向量的线性组合

    答案：D
    解析：

  • 第3题：

    求向量组的秩和一个极大线性无关组，并把其余向量用此极大线性无关组线性表示。


    答案：
    解析：

  • 第4题：

    求向量组的一个极大无关组，并把其余向量用极大无关组线性表示。


    答案：
    解析：

  • 第5题：

    设向量组I：α1α2αr…，可由向量组Ⅱβ1,β2,…βs：线性表示，下列命题正确的是( )。

    A.若向量组I线性无关．则r≤S
    B.若向量组I线性相关，则r>s
    C.若向量组Ⅱ线性无关，则r≤s
    D.若向量组Ⅱ线性相关，则r>s

    答案：A
    解析：
    由于向量组I能由向量组Ⅱ线性表示，所以r(I)≤r(Ⅱ)，即

  • 第6题：

    设A为4X5矩阵，且A的行向量组线性无关，则（ ）.《》（ ）

    A.A的列向量组线性无关
    B.方程组AX=b有无穷多解
    C.方程组AX=b的增广矩阵的任意四个列向量构成的向量组线性无关
    D.A的任意4个列向量构成的向量组线性无关

    答案：B
    解析：
    方程组AX=b的行向量组线性无关，则r（A）=4，而未知数的个数为5，故方程组中含有一个自由未知数，它有无穷多解.

  • 第7题：


    A.向量组（Ⅰ）与（Ⅱ）都线性相关
    B.向量组（Ⅰ）线性相关
    C.向量组（Ⅱ）线性相关
    D.向量组（Ⅰ）与（Ⅱ）中至少有一个线性相关

    答案：D
    解析：
    由向量组（Ⅲ）线性相关，知矩阵AB不可逆，即｜AB｜=｜A｜｜B｜=0，因此｜A｜、｜B｜中至少有一个为0，即A与B中至少有一个不可逆，故向量组（Ⅰ）与（Ⅱ）中至少有一个线性相关.

  • 第8题：

    单选题
    设A为m×n矩阵，则齐次线性方程组Ax＝0有非零解的充分必要条件是（　　）。[2017年真题]
    A

    矩阵A的任意两个列向量线性相关

    B

    矩阵A的任意两个列向量线性无关

    C

    矩阵A的任一列向量是其余列向量的线性组合

    D

    矩阵A必有一个列向量是其余列向量的线性组合


    正确答案： D
    解析：
    线性方程组Ax＝0有非零解⇔|A|＝0⇔r（A）＜n，矩阵A的列向量线性相关，所以矩阵A必有一个列向量是其余列向量的线性组合。

  • 第9题：

    单选题
    设A为4×5矩阵，且A的行向量组线性无关，则（　　）。
    A

    A的列向量组线性无关

    B

    方程组AX(→)＝b(→)有无穷多解

    C

    方程组AX(→)＝b(→)的增广矩阵A(＿)的任意四个列向量构成的向量组线性无关

    D

    A的任意4个列向量构成的向量组线性无关


    正确答案： B
    解析：
    方程组AX(→)＝b(→)的行向量组线性无关，则r（A）＝4，而未知数的个数为5，故方程组中含有一个自由未知数，它有无穷多解。

  • 第10题：

    单选题
    向量组α(→)1，α(→)2，…，α(→)s线性相关的充要条件是（　　）。
    A

    α(→)1，α(→)2，…，α(→)s均为零向量

    B

    其中有一个部分组线性相关

    C

    α(→)1，α(→)2，…，α(→)s中任意一个向量都能由其余向量线性表示

    D

    其中至少有一个向量可以表为其余向量的线性组合


    正确答案： B
    解析：
    课本结论：α(→)1，α(→)2，…，α(→)s线性相关当且仅当α(→)1，α(→)2，…，α(→)s中有一个向量为其他向量的线性组合。

  • 第11题：

    填空题
    已知向量组（α1，α3），（α1，α3，α4），（α2，α3，）都线性无关，而（α1，α2，α3，α4）线性相关，则向量组（α1，α2，α3，α4）的极大无关组是____.

    正确答案： (α1,α3,α4)
    解析：
    向量组（α1，α2，α3，α4）线性相关，则其极大线性无关组最多含三个向量，又（α1，α3，α4）线性无关，故知（α1，α3，α4）为其极大线性无关组．

  • 第12题：

    问答题
    设向量组α(→)1，α(→)2，…，α(→)s的秩为r＞0，证明：　　（1）α(→)1，α(→)2，…，α(→)s中任意r个线性无关的向量都构成它的一个极大线性无关组；　　（2）若α(→)1，α(→)2，…，α(→)s中每个向量都可由其中某r个向量线性表示，则这r个向量必为α(→)1，α(→)2，…，α(→)s的一个极大线性无关组。

    正确答案：
    (1)设①:α(→)j1,α(→)j2,…,α(→)jr是α(→)1,α(→)2,…,α(→)s中任意r个线性无关的向量,由于向量组的秩为r,故向量组中任意多于r个向量的向量组必线性相关,所以α(→)j1,α(→)j2,…,α(→)jr,α(→)i(i=1,2,…,s;i≠j1,j2,…,jr)线性相关,从而①为原向量组的极大线性无关组。
    (2)设①:α(→)j1,α(→)j2,…,α(→)jr是α(→)1,α(→)2,…,α(→)s中的r个向量,且原向量组中每个向量都可由①线性表示,则原向量组与向量组①等价。等价向量组有相同的秩,原向量组的秩为r,所以向量组①的秩为r。又向量组①只含r个向量,故向量组①线性无关,因此由(1)的结论有①是原向量组的极大线性无关组。
    解析： 暂无解析

  • 第13题：

    设向量组Ⅰ可由向量组Ⅱ:线性表示,下列命题正确的是( )



    A.若向量组Ⅰ线性无关,则r≤s
    B.若向量组Ⅰ线性相关,则r大于s
    C.若向量组Ⅱ线性无关,则r≤s
    D.若向量组Ⅱ线性相关,则r小于s

    答案：A
    解析：

  • 第14题：

    求向量组的秩和一个极大无关组,并将其余向量表成该极大无关组的线性组合


    答案：
    解析：

  • 第15题：

    设矩阵求矩阵A的列向量组的一个极大无关组, 并把不属于极大无关组的列向量用极大无关组线性表示出来.


    答案：
    解析：

  • 第16题：


    A.任意一个行向量均可由其它r个行向量线性表示
    B.任意r个行向量均可构成极大无关量
    C.任意r个行向量均线性无关
    D.必有r个行向量线性无关

    答案：D
    解析：

  • 第17题：

    设n阶方阵M的秩r(M)=r
    A.任意一个行向量均可由其他r个行向量线性表示
    B.任意r个行向量均可组成极大线性无关组
    C.任意r个行向量均线性无关
    D.必有r个行向量线性无关

    答案：D
    解析：

  • 第18题：


    A.必定r＜s
    B.向量组中任意个数小于r的部分组线性无关
    C.向量组中任意r个向量线性无关
    D.若s＞r则向量组中任r+l个向量必线性相关

    答案：D
    解析：

  • 第19题：

    单选题
    向量组α(→)1，α(→)2，…，α(→)s线性无关的充分条件是（　　）。
    A

    α(→)1，α(→)2，…，α(→)s均不为零向量

    B

    α(→)1，α(→)2，…，α(→)s中任意两个向量的分量不成比例

    C

    α(→)1，α(→)2，…，α(→)s中任意一个向量均不能由其余s－1个向量线性表示

    D

    α(→)1，α(→)2，…，α(→)s中有一部分向量线性无关


    正确答案： C
    解析：
    A项，均不为零的向量未必线性无关；
    B项，例如α(→)1＝（1，0，0）T，α(→)2＝（0，1，0）T，α(→)3＝（1，1，0）T，则其中任意两个向量的分量均不成比例，但向量组α(→)1，α(→)2，α(→)3线性相关；
    C项，反证法，如果α(→)1，α(→)2，…，α(→)s线性相关，则至少有一个向量可由其余s－1个向量线性表示，与题设矛盾；
    D项，向量组α(→)1，α(→)2，…，α(→)s中部分向量线性无关时，未必全部向量线性无关。

  • 第20题：

    单选题
    A

    矩阵A的任意两个列向量线性相关

    B

    矩阵A的任意两个列向量线性无关

    C

    矩阵A的任一列向量是其余向量的线性组合

    D

    矩阵A必有一个列向量是其余列向量的线性组合


    正确答案： B
    解析：

  • 第21题：

    单选题
    A是n阶方阵，其秩r＜n，则在A的n个行向量中（　　）.
    A

    必有r个行向量线性无关

    B

    任意r个行向量线性无关

    C

    任意r个行向量都构成极大线性无关向量组

    D

    任意一个行向量都可由其他任意r个行向量线性表出


    正确答案： B
    解析：
    因矩阵A的秩等于A的行向量组的秩，所以其行向量组的秩也为r，而向量组线性无关的充要条件是它所含向量个数等于它的秩，因此A中必有r个行向量线性无关．

  • 第22题：

    单选题
    设向量组α(→)1，α(→)2，…，α(→)s的秩为r，则（　　）。
    A

    必定r＜s

    B

    向量组中任意个数小于r的部分组线性无关

    C

    向量组中任意r个向量线性无关

    D

    若s＞r，则向量组中任意r＋l个向量必线性相关


    正确答案： A
    解析：
    A项，r可能与s相等；
    B项，若r＜s，向量组中可以有两个向量成比例；
    C项，当r小于s/2时，r个向量可能相关；
    D项，任意r＋1个向量若不线性相关，则向量组的秩为r＋1，故必相关。

  • 第23题：

    单选题
    下列说法不正确的是（　　）。
    A

    s个n维向量α(→)1，α(→)2，…，α(→)s线性无关，则加入k个n维向量β(→)1，β(→)2，…，β(→)k后的向量组仍然线性无关

    B

    s个n维向量α(→)1，α(→)2，…，α(→)s线性无关，则每个向量增加k维分量后得到的向量组仍然线性无关

    C

    s个n维向量α(→)1，α(→)2，…，α(→)s线性相关，则加入k个n维向量β(→)1，β(→)2，…，β(→)k后得到的向量组仍然线性相关

    D

    s个n维向量α(→)1，α(→)2，…，α(→)s线性无关，则减少一个向量后得到的向量组仍然线性无关


    正确答案： A
    解析：
    A项，一个线性无关组加入k个线性相关的向量，新的向量组线性相关；
    B项，线性无关组的延伸组仍为线性无关组；
    C项，线性相关组加入k个向量，无论k个向量是否相关，构成的新的向量组必是线性相关的；
    D项，线性无关组中的任意个组合均是无关的。

  • 第24题：

    单选题
    设向量组α1，α2，…，αr（Ⅰ）是向量组α1，α2，…，αs（Ⅱ）的部分线性无关组，则（　　）.
    A

    （Ⅰ）是（Ⅱ）的极大线性无关组

    B

    r（Ⅰ）=r（Ⅱ）

    C

    当（Ⅰ）中的向量均可由（Ⅱ）线性表示时，r（Ⅰ）=r（Ⅱ）

    D

    当（Ⅱ）中的向量均可由（Ⅰ）线性表示时，r（Ⅰ）=r（Ⅱ）


    正确答案： B
    解析：
    题设中只给出向量组（Ⅰ）是（Ⅱ）的部分线性无关组，则不能判定其为（Ⅱ）的极大线性无关组，也没有r（Ⅰ）=r（Ⅱ），若向量组（Ⅱ）可由（Ⅰ）线性表示，则向量组（Ⅰ）和（Ⅱ）等价，即r（Ⅰ）=r（Ⅱ）．

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