设λ1,λ2都是n阶矩阵A的特征值,λ1≠λ2,,且a1与a2分别是A的对应于λ1与λ2的特征向量,则().A.c1=0且c2=0时,a=c1a1+c2a2必是A的特征向量B.c1≠0且c2≠0时,a=c1a1+c2a2必是A的特征向量C.c1,c2=0时,a1=c1a1+c2a2必是A的特征向量D.c1≠0而c2=0时,a=c1a1+c2a2必是A的特征向量
题目
设λ1<／sub>,λ2<／sub>都是n阶矩阵A的特征值,λ1<／sub>≠λ2<／sub>,,且a1<／sub>与a2<／sub>分别是A的对应于λ1<／sub>与λ2<／sub>的特征向量,则().
A.c1=0且c2=0时,a=c1a1+c2a2必是A的特征向量
B.c1≠0且c2≠0时,a=c1a1+c2a2必是A的特征向量
C.c1,c2=0时,a1=c1a1+c2a2必是A的特征向量
D.c1≠0而c2=0时,a=c1a1+c2a2必是A的特征向量
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参考答案和解析
参考答案：
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第1题：
设2阶矩阵A有两个不同特征值，α1，α2是A的线性无关的特征向量，且满足A^2(α1+α2)=α1+α2，则｜A｜=________.答案：1、-1解析：
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第2题：
设A为3阶实对称矩阵，A的秩为2，且.
（Ⅰ）求A的特征值与特征向量； （Ⅱ）求矩阵A答案：解析：
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第3题：
设实对称阵A的特征值为0，2，2，且对应特征值2的两个特征向量为
与
，求.
答案：解析：
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第4题：
已知二阶实对称矩阵A的特征值是1，A的对应于特征值1的特征向量为（1，－1）T，若|A|＝－1，则A的另一个特征值及其对应的特征向量是（ ）。
答案：B解析：根据矩阵行列式与特征值的关系：|A|＝λ1λ2，故另一个特征值为－1，其对应的特征向量应与已知特征向量正交，即两向量点乘等于零，因此（1，1）T满足要求。 -
第5题：
设λ1，λ2是矩阵A的2个不同的特征值，ξ，η是A的分别属于λ1，λ2的特征向量，则以下选项中正确的是：A. 对任意的k1≠0和k2≠0，k1ξ+k2η都是A的特征向量
B.存在常数k1≠0和k2≠0，使得k1ξ+k2η是A的特征向量
C.存在任意的k1≠0和k2≠0，k1ξ+k2η都不是A的特征向量
D.仅当k1=0和k2=0，k1ξ+k2η是A的特征向量答案：C解析：提示 特征向量必须是非零向量，选项D错误。 由矩阵的特征值、特征向量关系可知:①当ξ、η是A对应特征值λ的特征向量，当k1≠0，k2≠0时，k1ξ+k2η仍是A对应λ的特征向量。
②如果ξ、η是A对应不同特征值的特征向量，则k1ξ+k2η不是A的特征向量。
所以选项A、B均不成立。 -
第6题：
设A是三阶矩阵，a1(1,0,1)T，a2(1,1,0)T是A的属于特征值1的特征向量，a3(0,1,2)T是A的属于特征值-1的特征向量，则：A.a1-a2是A的属于特征值1的特征向量
B.a1-a3是A的属于特征值1的特征向量
C.a1-a3是A的属于特征值2的特征向量
D. a1+a2+a3是A的属于特征值1的特征向量答案：A解析：提示 已知a1,a2是矩阵A属于特征值1的特征向量，即有Aa1=1*a1,Aa2=1*a2成立，则A(a1-a2)=1*(a1-a2)，a1-a2为非零向量，因此a1-a2是A属于特征值1的特征向量。 -
第7题：
设A是n阶矩阵，且Ak=O(k为正整数)，则( )。A.A一定是零矩阵
B.A有不为0的特征值
C.A的特征值全为0
D.A有n个线性无关的特征向量答案：C解析：
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第8题：
设n阶矩阵A可逆，α是A的属于特征值λ的特征向量，则下列结论中不正确的是( )。
A. α是矩阵-2A的属于特征值-2λ的特征向量
D. α是矩阵AT的属于特征值λ的特征向量答案：D解析：提示：显然A、B、C都是正确的。 -
第9题：
设λ1，λ2是矩阵A的两个不同的特征值，ξ、η是a的分别属于λ1、λ2的特征向量，则以下选项正确的是（）。
- A、对任意的k1≠0和k2≠0，k1ξ+k2η都是A的特征向量
- B、存在常数k1≠0和k2≠0，使得k1ξ+k2η是A的特征向量
- C、对任意的k1≠0和k2≠0，k1ξ+k2η都不是A的特征向量
- D、仅当k1=k2=0时，k1ξ+k2η是A的特征向量
正确答案:C -
第10题：
单选题设A是三阶矩阵，α1=（1，0，1）T，α2=（1，1，0）T是A的属于特征值1的特征向量，α3=（0，1，2）T是A的属于特征值-1的特征向量，则：（）Aα1-α2是A的属于特征值1的特征向量
Bα1-α3是A的属于特征值1的特征向量
Cα1-α3是A的属于特征值2的特征向量
Dα1+α2+α3是A的属于特征值1的特征向量
正确答案： A解析： 暂无解析 -
第11题：
问答题证明： （1）若α(→)1，α(→)2，…，α(→)r是A的属于特征值λ的特征向量，则α(→)1，α(→)2，…，α(→)r的任一个非零线性组合也是A的属于λ的特征向量。 （2）矩阵可逆的充分必要条件是它的特征值都不为0。正确答案：
(1)因为α1,α2,…,αr是A的属于特征值λ的特征向量,则有Aαi=λαi(i=1,2,…,r)。设k1α1+k2α2+…+krαr是α1,α2,…,αr的任一非零线性组合,则
A(k1α1+k2α2+…+krαr)=k1Aα1+k2Aα2+…+krAαr=k1λα1+k2λα2+…+krλαr=λ(k1α1+k2α2+…+krαr)
由定义知k1α1+k2α2+…+krαr是A的属于特征值λ的特征向量。
(2)必要性
设矩阵A可逆,可知行列式,A,≠0。
由于,A,=λ1λ2…λn,故λi≠0(i=1,2,…,n)。
充分性
由矩阵A的特征值λi≠0(i=1,2,…,n),知,A,=λ1λ2…λn≠0,即矩阵A可逆。解析： 暂无解析 -
第12题：
单选题设λ1，λ2是矩阵A的2个不同的特征值，ξ，η是A的分别属于λ1，λ2的特征向量，则以下选项中正确的是：（）A对任意的k1≠0和k2≠0，k1ξ+k2η，都是A的特征向量
B存在常数k1≠0和k2≠0，使得k1ξ+k2η，是A的特征向量
C存在任意的k1≠0和k2≠0，k1ξ+k2η，都不是A的特征向量
D仅当k1=k2=0时，k1ξ+k2η，是A的特征向量
正确答案： C解析： 暂无解析 -
第13题：
设A为三阶实对称矩阵，A的秩为2，且
(Ⅰ)求A的所有特征值与特征向量；
(Ⅱ)求矩阵A.答案：解析：
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第14题：
设A为3阶矩阵，a1,a2为A的分别属于特征值-1,1的特征向量，向量a3满足
答案：解析：
-
第15题：
设
为n阶方阵A的两个互不相等的特征值,与之对应的特征向量分别为X1,X2,证明X1,X2不是矩阵A的特征向量。答案：解析：
-
第16题：
已知三维列向量a，β满足aTβ，设3阶矩阵A=βaT，则:A. β是A的属于特征值0的特征向量
B. a是A的属于特征值0的特征向量
C. β是A的属于特征值3的特征向量
D. a是A的属于特征值3的特征向量答案：C解析：提示 通过矩阵的特征值、特征向量的定义判定。只要满足式子Ax=λx，向量x 即为矩阵A对应特征值λ的特征向量。
再利用题目给出的条件：
aTβ=3 ①
A=βaT ②
将等式②两边均乘β，得A*β=βaT*β，变形Aβ=β(aTβ)，代入式①得Aβ=β*3，故Aβ=3*β成立。 -
第17题：
已知三维列向量αβ满足αTβ=3，设3阶矩阵A=βαT，则：A. β是A的属于特征值0的特征向量
B. α是A的属于特征值0的特征向量
C. β是A的属于特征值3的特征向量
D. α是A的属于特征值3的特征向量答案：C解析：通过矩阵的特征值、特征向量的定义判定。只要满足式子Ax=λx，向量x即为矩阵A对应特征值λ的特征向量。
再利用题目给出的条件：
αTβ=3 ①
A=βαT ②
将等式②两边均乘β，得辱A*β=βαT*β，变形Aβ=β（αTβ），代入式①得Aβ=β*3，故Aβ=3*β成立。 -
第18题：
A.β是A的属于特征值0的特征向量
B.α是A的属于特征值0的特征向量
C.β是A的属于特征值2的特征向量
D.α是A的属于特征值2的特征向量答案：D解析：
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第19题：
设λ1，λ2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为a1，a2，则a1，A(a1+a2)线性无关的充分必要条件是( )。
A.λ1=0
B.λ2=0
C.λ1≠0
D.λ2≠0答案：D解析：
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第20题：
设n阶矩阵A可逆，α是A的属于特征值λ的特征向量，则下列结论中不正确的是（）。
- A、α是矩阵-2A的属于特征值-2λ的特征向量
- B、α是矩阵的属于特征值的特征向量
- C、α是矩阵A*的属于特征值的特征向量
- D、α是矩阵AT的属于特征值λ的特征向量
正确答案:D -
第21题：
单选题设λ1，λ2是矩阵A的两个不同的特征值，ξ，η是A的分别属于λ1，λ2的特征向量，则以下选项中正确的是（ ）。A对任意的k1≠0和k2≠0，k1ξ+k2η都是A的特征向量
B存在常数k1≠0和 k2≠0，使得k1ξ+k2η是A的特征向量
C对任意的k1≠0和k2≠0，k1ξ+k2η都不是A的特征向量
D仅当k1=k2=0时，k1ξ+k2η是A的特征向量
正确答案： C解析：
ξ、η是A的分别属于λ1，λ2的特征向量，则：Aξ=λ1ξ，Aη=λ2η，A（k1ξ+k2η）=k1Aξ+k2Aη=k1λ1ξ+k2λ2η，当λ1≠λ2时，k1ξ+k2η就不是矩阵A的特征向量。 -
第22题：
单选题设n阶矩阵A可逆，α是A的属于特征值λ的特征向量，则下列结论中不正确的是（）。Aα是矩阵-2A的属于特征值-2λ的特征向量
Bα是矩阵的属于特征值的特征向量
Cα是矩阵A*的属于特征值的特征向量
Dα是矩阵AT的属于特征值λ的特征向量
正确答案： B解析： 暂无解析 -
第23题：
问答题设有三个非零的n阶（n≥3）方阵A1、A2、A3，满足Ai2＝Ai（i＝1，2，3），且AiAj＝0（i≠j，i、j＝1，2，3），证明： （1）Ai（i＝1，2，3）的特征值有且仅有0和1； （2）Ai的对应于特征值1的特征向量是Aj的对应于特征值0的特征向量（i≠j）； （3）若α(→)1、α(→)2、α(→)3分别为A1、A2、A3的对应于特征值1的特征向量，则向量组α(→)1、α(→)2、α(→)3线性无关。正确答案：
(1)设λi为矩阵Ai的特征值,αi(αi≠0)是Ai的属于特征值λi的特征向量,则有λiαi=Aiαi=Ai2αi=λiAiαi=λi2αi,所以(λi-λi2)αi=0。
由αi≠0知λi-λi2=0,所以λi=0或1,即若Ai有特征值,则只能是0或1。
由Ai2=Ai得Ai(Ai-E)=0,因为AiAj=0(i≠j)且Ai≠0(i=1,2,3),所以Ai≠E,即Ai-E≠0。所以知Ai的列向量都是齐次线性方程组AiX=0的解,且AiX=0有非零解。
从而,Ai,=0,即,Ai-0E,=0。即0是Ai的特征值,同理可证1也是Ai的特征值。
(2)设Ai属于特征值1的特征向量为αi,则Aiαi=αi,AjAiαi=Ajαi(i≠j)。
因为AiAj=0(i≠j),所以AjAi=0,Ajαi=0αi,故Ai的属于特征值1的特征向量是Aj属于特征值0的特征向量。
(3)设有数k1,k2,k3使k1α1+k2α2+k3α3=0,即k1A1α1+k2A1α2+k3A1α3=0,根据(2)可知α2,α3应是A1的属于特征值0的特征向量,即A1α2=0,A1α3=0。
故有k1A1α1=k1·1·α1=k1α1=0,由α1≠0,故k1=0。同理可证k2=k3=0,因此α1、α2、α3线性无关。解析： 暂无解析