小明和小华计算甲、乙两个不同自然数的积（这两个自然数都比1大）。小明把较大的数字的个位数错看成了一个更大的数字，其计算结果为144，小华却把乘号看成了加号，其计算结果为28。问两个数的差为（）。A、16B、12C、8D、4

正确答案：

 

第五题：3和4（可严格证明）

　　设两个数为n1，n2，n1>=n2，甲听到的数为n=n1+n2，乙听到的数为m=n1*n2

　　证明n1=3，n2=4是唯一解

　　证明：要证以上命题为真，不妨先证n=7

1)必要性：

　　 i) n>5 是显然的，因为n<4不可能，n=4或者n=5甲都不可能回答不知道

　　 ii) n>6 因为如果n=6的话，那么甲虽然不知道（不确定2+4还是3+3）但是无论是2，4还是3，3乙都不可能说不知道（m=8或者m=9的话乙说不知道是没有道理的）

　　 iii) n<8 因为如果n>=8的话，就可以将n分解成 n=4+x 和 n=6+(x-2)，那么m可以是4x也可以是6(x-2)而4x=6(x-2)的必要条件是x=6即n=10，那样n又可以分解成8+2，所以总之当n>=8时，n至少可以分解成两种不同的合数之和，这样乙说不知道的时候，甲就没有理由马上说知道。

　　 以上证明了必要性

　　2)充分性

　　 当n=7时，n可以分解成2+5或3+4

　　 显然2+5不符合题

第五题：3和4（可严格证明）

　　设两个数为n1，n2，n1>=n2，甲听到的数为n=n1+n2，乙听到的数为m=n1*n2

　　证明n1=3，n2=4是唯一解

　　证明：要证以上命题为真，不妨先证n=7

1)必要性：

　　 i) n>5 是显然的，因为n<4不可能，n=4或者n=5甲都不可能回答不知道

　　 ii) n>6 因为如果n=6的话，那么甲虽然不知道（不确定2+4还是3+3）但是无论是2，4还是3，3乙都不可能说不知道（m=8或者m=9的话乙说不知道是没有道理的）

　　 iii) n<8 因为如果n>=8的话，就可以将n分解成 n=4+x 和 n=6+(x-2)，那么m可以是4x也可以是6(x-2)而4x=6(x-2)的必要条件是x=6即n=10，那样n又可以分解成8+2，所以总之当n>=8时，n至少可以分解成两种不同的合数之和，这样乙说不知道的时候，甲就没有理由马上说知道。

　　 以上证明了必要性

　　2)充分性

　　 当n=7时，n可以分解成2+5或3+4

　　 显然2+5不符合题意，舍去，容易判断出3+4符合题意，m=12，证毕

　　于是得到n=7 m=12 n1=3 n2=4是唯一解。

意，舍去，容易判断出3+4符合题意，m=12，证毕

　　于是得到n=7 m=12 n1=3 n2=4是唯一解。

正确答案：B
将473与407两个数分解质因数得473＝43×11，407＝37×11，故只能是B＝11，而A的十位数字为4，个位数字为7，即A＝47，故A×B＝47×11＝517。故选D。

正确答案：×

1和3为两个自然数，积为3，是质数。

正确答案：D
解析：本题执行过程：
  i  S
  ①i=1  1  s=0+1+1=2
  ②i=i+2  3  s=2+3+1=6
  ③i=i+2  5  s=6+5+1=12
  ④i=i+2  7  s=12+7+1=20
  ⑤i=i+2 9  s=20+9+1=30
  ⑥i=i+2=11＞10，循环结束。

正确答案：B
[答案] B。解析：100÷7=14……2。在1～100中，按被7除的余数分为了类：余1与余2的各15个，余3、余4、余5、余6、整除的各14个。取两个不同的数，要使它们的和是7的倍数，必须是：一个余1一个余6，或一个余2一个余5，或一个余3一个余4，或两个都是整除。所以，不同的取法共有15×14+15×14+14×14+14×13÷2=707。

答案：C

解析：