单选题下列说法不正确的是（　　）.A s个n维向量α1，α2，…，αs线性无关，则加入k个n维向量β1，β2，…，βk后的向量组仍然线性无关B s个n维向量α1，α2，…，αs线性无关，则每个向量增加k维分量后得到的向量组仍然线性无关C s个n维向量α1，α2，…，αs线性相关，则加入k个n维向量β1，β2，…，βk后得到的向量组仍然线性相关.D s个n维向量α1，α2，…，αs线性无关，则减少一个向量后得到的向量组仍然线性无关.

题目
单选题
下列说法不正确的是（　　）.
A

s个n维向量α1，α2，…，αs线性无关，则加入k个n维向量β1，β2，…，βk后的向量组仍然线性无关

B

s个n维向量α1，α2，…，αs线性无关，则每个向量增加k维分量后得到的向量组仍然线性无关

C

s个n维向量α1，α2，…，αs线性相关，则加入k个n维向量β1，β2，…，βk后得到的向量组仍然线性相关.

D

s个n维向量α1，α2，…，αs线性无关，则减少一个向量后得到的向量组仍然线性无关.

相似考题

1.若a1,a2,……an是一个线性无关的n维向量组,则任何n维向量均可由它们线性表示。()此题为判断题(对，错)。

2.3维向量组A：a1，a2，…，am线性无关的充分必要条件是( ).A.对任意一组不全为0的数k1，k2，…，km，都有k1a1+k2a2+…+kmam≠0 B.向量组A中任意两个向量都线性无关 C.向量组A是正交向量组 D.

3. 设向量组I：α1α2αr…，可由向量组Ⅱβ1,β2,…βs：线性表示，下列命题正确的是( )。A.若向量组I线性无关．则r≤S B.若向量组I线性相关，则r>s C.若向量组Ⅱ线性无关，则r≤s D.若向量组Ⅱ线性相关，则r>s

4.设α1,α2,…,αn为n个线性无关的n维列向量,且与向量β正交.证明：向量β为零向量.

更多“单选题下列说法不正确的是（　　）.A s个n维向量α1，α2，…，αs线性无关，则加入k个n维向量β1，β2，…，βk后的向量组仍然线性无关B s个n维向量α1，α2，…，αs线性无关，则每个向量增加k维分量后得到的向量组仍然线性无关C s个n维向量α1，α2，…，αs线性相关，则加入k个n维向量β1，β2，…，βk后得到的向量组仍然线性相关.D s个n维向量α1，α2，…，αs线性无关，则减少一个向量后得到的向量组仍然线性无关.”相关问题

  • 第1题：

    3维向量组A：α1，α2，…，αM线性无关的充分必要条件是（）．

    • A、对任意一组不全为0的数k1，k2，…，kM，都有后
    • B、向量组A中任意两个向量都线性无关
    • C、向量组A是正交向量组
    • D、αM不能由线性表示

    正确答案:A

  • 第2题：

    单选题
    n维向量组，α(→)1，α(→)2，…，α(→)s（3≤s≤n）线性无关的充要条件是（　　）。
    A

    存在一组不全为0的数k1，k2，…，ks，使kα(→)1＋k2α(→)2＋…＋ksα(→)s≠0(→)

    B

    α(→)1，α(→)2，…，α(→)s中任意两个向量都线性无关

    C

    α(→)1，α(→)2，…，α(→)s中存在一个向量不能由其余向量线性表示

    D

    α(→)1，α(→)2，…，α(→)s中任何一个向量都不能由其余向量线性表示


    正确答案： C
    解析：
    向量组线性相关的充要条件是其中至少有一个向量可以由其余向量表示，若向量组中任何一个向量都不能由其余向量线性表示，则它们必线性无关；反之亦然。

  • 第3题：

    单选题
    设n维列向量组α(→)1，α(→)2，…，α(→)m（m＜n）线性无关，则n维列向量组β(→)1，β(→)2，…，β(→)m线性无关的充分必要条件是（　　）。
    A

    向量组α(→)1，α(→)2，…，α(→)m可以由β(→)1，β(→)2，…，β(→)m线性表示

    B

    向量组β(→)1，β(→)2，…，β(→)m可以由α(→)1，α(→)2，…，α(→)m线性表示

    C

    向量组α(→)1，α(→)2，…，α(→)m与向量组β(→)1，β(→)2，…，β(→)m等价

    D

    矩阵A＝（α(→)1，α(→)2，…，α(→)m）与矩阵B＝（β(→)1，β(→)2，…，β(→)m）等价


    正确答案： D
    解析：
    例如α(→)1＝（1，0，0，0），α(→)2＝（0，1，0，0），β(→)1＝（0，0，1，0），β(→)2＝（0，0，0，1），各自都线性无关，但它们之间不能相互线性表示，也就不可能有等价关系，排除A、B、C项；
    D项，矩阵A与矩阵B等价，则它们的秩相等，故向量组β(→)1，β(→)2，…，β(→)m线性无关。

  • 第4题：

    单选题
    3维向量组A：α1，α2，…，αM线性无关的充分必要条件是（）．
    A

    对任意一组不全为0的数k1，k2，…，kM，都有后

    B

    向量组A中任意两个向量都线性无关

    C

    向量组A是正交向量组

    D

    αM不能由线性表示


    正确答案： D
    解析： 暂无解析

  • 第5题：

    单选题
    设α(→)1，α(→)2，…，α(→)s和β(→)1，β(→)2，…，β(→)t为两个n维向量组，且秩（α(→)1，α(→)2，…，α(→)s）＝秩（β(→)1，β(→)2，…，β(→)t）＝r，则（　　）。
    A

    此两个向量组等价

    B

    秩（α(→)1，α(→)2，…，α(→)s，β(→)1，β(→)2，…，β(→)t）＝r

    C

    当α(→)1，α(→)2，…，α(→)s可以由β(→)1，β(→)2，…，β(→)t线性表示时，此二向量组等价

    D

    s＝t时，二向量组等价


    正确答案： C
    解析：
    两向量组等价的充要条件是所含向量的个数相等，且能相互线性表示。

  • 第6题：

    单选题
    设α(→)1，α(→)2，…，α(→)s均为n维列向量，A是m×n矩阵，下列选项正确的是（　　）。
    A

    若α(→)1，α(→)2，…，α(→)s线性相关，则Aα(→)1，Aα(→)2，…，Aα(→)s线性相关

    B

    若α(→)1，α(→)2，…，α(→)s线性相关，则Aα(→)1，Aα(→)2，…，Aα(→)s线性无关

    C

    若α(→)1，α(→)2，…，α(→)s线性无关，则Aα(→)1，Aα(→)2，…，Aα(→)s线性相关

    D

    若α(→)1，α(→)2，…，α(→)s线性无关，则Aα(→)1，Aα(→)2，…，Aα(→)s线性无关


    正确答案： A
    解析：
    设有数k1，k2，…，ks，使k1α(→)1＋k2α(→)2＋…＋ksα(→)s＝0(→)，则有A（k1α(→)1＋k2α(→)2＋…＋ksα(→)s）＝k1Aα(→)1＋k2Aα(→)2＋…＋ksAα(→)s＝0(→)。因α(→)1，α(→)2，…，α(→)s线性相关，故k1，k2，…，ks不全为0，知Aα(→)1，Aα(→)2，…，Aα(→)s线性相关。

  • 第7题：

    单选题
    n维向量组α(→)1，α(→)2，…，α(→)s线性无关的充分条件是（　　）。
    A

    α(→)1，α(→)2，…，α(→)s中没有零向量

    B

    向量组的个数不大于维数，即s≤n

    C

    α(→)1，α(→)2，…，α(→)s中任意两个向量的分量不成比例

    D

    某向量β(→)可由α(→)1，α(→)2，…，α(→)s线性表示，且表示法唯一


    正确答案： B
    解析：
    A项，例如α(→)1＝（1，－1，2），α(→)2＝（2，－2，4）都是非零向量，但α(→)1，α(→)2线性相关；
    B项，如A项中的例子，α(→)1，α(→)2个数小于维数，但其线性相关；
    C项，例如α(→)1＝（1，0，－1），α(→)2＝（0，3，0），α(→)3＝（1，3，－1）中任意两个向量的分量均不成比例，但α(→)1，α(→)2，α(→)3线性相关；
    D项，β(→)可由α(→)1，α(→)2，…，α(→)s线性表示，且表示法唯一，即α(→)1，α(→)2，…，α(→)s是α(→)1，α(→)2，…，α(→)s，β(→)的线性极大无关组，故α(→)1，α(→)2，…，α(→)s线性无关。

  • 第8题：

    单选题
    设n维向量组（Ⅰ）α(→)1，α(→)2，…，α(→)s线性无关，（Ⅱ）β(→)1，β(→)2，…，β(→)t线性无关，且α(→)i不能由（Ⅱ）线性表示（i＝1，2，…，s），且β(→)j不能由（Ⅰ）线性表示（j＝1，2，…，t），则向量组α(→)1，α(→)2，…，α(→)s，β(→)1，β(→)2，…，β(→)t（　　）。
    A

    一定线性相关

    B

    一定线性无关

    C

    可能线性相关，也可能线性无关

    D

    既不线性相关，也不线性无关


    正确答案： A
    解析：
    设（Ⅰ）：α(→)1＝（1，0，0），α(→)2＝（1，1，0），（Ⅱ）：β(→)1＝（0，0，1），β(→)2＝（0，1，1）。则向量组（Ⅰ）和（Ⅱ）各自线性无关，但α(→)1，α(→)2，β(→)1，β(→)2线性相关；
    令（Ⅱ）：β(→)1＝（0，0，1），α(→)1，α(→)2，β(→)1也满足条件，但α(→)1，α(→)2，β(→)1线性无关。

  • 第9题：

    单选题
    设n维列向量组α1，α2，…，αm（m＜n）线性无关，则n维列向量组β1，β2，…，βm线性无关的充分必要条件是（　　）.
    A

    向量组α1，α2，…，αm可以由β1，β2，…，βm线性表示

    B

    向量组β1，β2，…，βm可以由α1，α2，…，αm线性表示

    C

    向量组α1，…，αm与向量组β1，…，βm等价

    D

    矩阵A=（α1，…，αm）与矩阵B=（β1，…，βm）β）m


    正确答案： C
    解析：
    例如α1=（1，0，0，0），α2=（0，1，0，0），β1=（0，0，1，0），β2=（0，0，0，1），各自都线性无关，但它们之间不能相互线性表示，也就不可能有等价关系，排除A、B、C项；D项，矩阵A与矩阵B等价，则它们的秩相等，故向量组β1，β2，…，βm线性无关．

  • 第10题：

    单选题
    设n阶方阵A＝（α(→)1，α(→)2，…，α(→)n），B＝（β(→)1，β(→)2，…，β(→)n），AB＝（γ(→)1，γ(→)2，…，γ(→)n），记向量组（Ⅰ）：α(→)1，α(→)2，…，α(→)n；（Ⅱ）： β(→)1，β(→)2，…，β(→)n；（Ⅲ）：γ(→)1，γ(→)2，…，γ(→)n。如果向量组（Ⅲ）线性相关，则（　　）。
    A

    向量组（Ⅰ）与（Ⅱ）都线性相关

    B

    向量组（Ⅰ）线性相关

    C

    向量组（Ⅱ）线性相关

    D

    向量组（Ⅰ）与（Ⅱ）中至少有一个线性相关


    正确答案： A
    解析：
    由向量组（Ⅲ）线性相关，知矩阵AB不可逆，即|AB|＝|A|·|B|＝0，因此|A|、|B|中至少有一个为0，即A与B中至少有一个不可逆，故向量组（Ⅰ）与（Ⅱ）中至少有一个线性相关。

  • 第11题：

    单选题
    向量组α(→)1，α(→)2，…，α(→)s线性无关的充分条件是（　　）。
    A

    α(→)1，α(→)2，…，α(→)s均不为零向量

    B

    α(→)1，α(→)2，…，α(→)s中任意两个向量的分量不成比例

    C

    α(→)1，α(→)2，…，α(→)s中任意一个向量均不能由其余s－1个向量线性表示

    D

    α(→)1，α(→)2，…，α(→)s中有一部分向量线性无关


    正确答案： D
    解析：
    A项，均不为零的向量未必线性无关；
    B项，例如α(→)1＝（1，0，0）T，α(→)2＝（0，1，0）T，α(→)3＝（1，1，0）T，则其中任意两个向量的分量均不成比例，但向量组α(→)1，α(→)2，α(→)3线性相关；
    C项，反证法，如果α(→)1，α(→)2，…，α(→)s线性相关，则至少有一个向量可由其余s－1个向量线性表示，与题设矛盾；
    D项，向量组α(→)1，α(→)2，…，α(→)s中部分向量线性无关时，未必全部向量线性无关。

  • 第12题：

    单选题
    设向量组（Ⅰ）:α1，α2，…，αr可由向量组（Ⅱ）:β1，β2，…，βs线性表示，则（　　）.
    A

    r＜s时，向量组（Ⅱ）必线性相关

    B

    r＞s时，向量组（Ⅱ）必线性相关

    C

    r＜s时，向量组（Ⅰ）必线性相关

    D

    r＞s时，向量组（Ⅰ）必线性相关


    正确答案： B
    解析：
    设向量组（Ⅰ）的秩为r1，向量组（Ⅱ）的秩为r2，由（Ⅰ）可由（Ⅱ）线性表示，知r1≤r2．又r2≤s，若r＞s，故r＞s≥r2≥r1，所以向量组（Ⅰ）必线性相关；若r＜s，不能判定向量组（Ⅰ）和（Ⅱ）的线性相关性．

  • 第13题：

    问答题
    设向量组α(→)1，α(→)2，…，α(→)s的秩为r＞0，证明：　　（1）α(→)1，α(→)2，…，α(→)s中任意r个线性无关的向量都构成它的一个极大线性无关组；　　（2）若α(→)1，α(→)2，…，α(→)s中每个向量都可由其中某r个向量线性表示，则这r个向量必为α(→)1，α(→)2，…，α(→)s的一个极大线性无关组。

    正确答案：
    (1)设①:α(→)j1,α(→)j2,…,α(→)jr是α(→)1,α(→)2,…,α(→)s中任意r个线性无关的向量,由于向量组的秩为r,故向量组中任意多于r个向量的向量组必线性相关,所以α(→)j1,α(→)j2,…,α(→)jr,α(→)i(i=1,2,…,s;i≠j1,j2,…,jr)线性相关,从而①为原向量组的极大线性无关组。
    (2)设①:α(→)j1,α(→)j2,…,α(→)jr是α(→)1,α(→)2,…,α(→)s中的r个向量,且原向量组中每个向量都可由①线性表示,则原向量组与向量组①等价。等价向量组有相同的秩,原向量组的秩为r,所以向量组①的秩为r。又向量组①只含r个向量,故向量组①线性无关,因此由(1)的结论有①是原向量组的极大线性无关组。
    解析： 暂无解析

  • 第14题：

    单选题
    设向量组α(→)1，α(→)2，…，α(→)s的秩为r，则（　　）。
    A

    必定r＜s

    B

    向量组中任意个数小于r的部分组线性无关

    C

    向量组中任意r个向量线性无关

    D

    若s＞r，则向量组中任意r＋l个向量必线性相关


    正确答案： B
    解析：
    A项，r可能与s相等；
    B项，若r＜s，向量组中可以有两个向量成比例；
    C项，当r小于s/2时，r个向量可能相关；
    D项，任意r＋1个向量若不线性相关，则向量组的秩为r＋1，故必相关。

  • 第15题：

    单选题
    n维向量α(→)1，α(→)2，…，α(→)s线性无关的充要条件是（　　）。
    A

    存在不全为0的k1，k2，…，ks使klα(→)1＋k2α(→)2＋…＋ksα(→)s≠0(→)

    B

    添加向量β(→)后，α(→)1，α(→)2，…，α(→)s，β(→)线性无关

    C

    去掉任一向量α(→)i后，α(→)1，α(→)2，…，α(→)i－1，α(→)i＋1，…，α(→)s线性无关

    D

    α(→)1，α(→)2－α(→)1，α(→)3－α(→)1，…，α(→)s－α(→)1线性无关


    正确答案： C
    解析：
    D项，相当于对α(→)1，α(→)2，…，α(→)s构成的矩阵作初等变换，初等变换不改变向量组的秩和向量组的线性相关性。

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