问答题设A=E-ααT，其中E是n阶单位矩阵，α是n维非零列向量，αT是α的转置.证明：（1）A2=A的充要条件是αTα=1；（2）当αTα=1时，A是不可逆矩阵.
题目
问答题
设A=E-ααT，其中E是n阶单位矩阵，α是n维非零列向量，αT是α的转置.证明：（1）A2=A的充要条件是αTα=1；（2）当αTα=1时，A是不可逆矩阵.
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第1题：
设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m×n实矩阵，B^T为B的转置矩阵，试证：B^TAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)=n，答案：解析：
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第2题：
设A是三阶实对称矩阵,r(A)=1,A^2－3A=O,设（1,1,-1）t为A的非零特征值对应的特征向量.(1)求A的特征值；(2)求矩阵A.答案：解析：
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第3题：
设α为n维单位列向量，E为n阶单位矩阵，则
A.AE-AA^T不可逆
B.E+AA^T不可逆
C.E+2AA^T不可逆
D.E-2AA^T不可逆答案：A解析：A=αα^T是秩为1的矩阵，又α为单位列向量，有α^Tα=1.故矩阵A的特征值为1，0，…，0(n-1个)所以E-αα^T的特征值为0，1，…，1(n-1个)因此矩阵E-αα^T不可逆.应选(A) -
第4题：
若三维列向量α，β满足α^Tβ=2，其中α为α的转置，则矩阵βα^T的非零特征值为_____________.答案：解析：
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第5题：
设A1，A2分别为m阶，n阶可逆矩阵，分块矩阵
.证明：A可逆，且
答案：解析：
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第6题：
设A是三阶矩阵，a1(1,0,1)T，a2(1,1,0)T是A的属于特征值1的特征向量，a3(0,1,2)T是A的属于特征值-1的特征向量，则：A.a1-a2是A的属于特征值1的特征向量
B.a1-a3是A的属于特征值1的特征向量
C.a1-a3是A的属于特征值2的特征向量
D. a1+a2+a3是A的属于特征值1的特征向量答案：A解析：提示 已知a1,a2是矩阵A属于特征值1的特征向量，即有Aa1=1*a1,Aa2=1*a2成立，则A(a1-a2)=1*(a1-a2)，a1-a2为非零向量，因此a1-a2是A属于特征值1的特征向量。 -
第7题：
单选题设n维向量α(→)＝（a，0，…，0，a）T，a＜0，E为n阶单位矩阵，矩阵A＝E－α(→)α(→)T，B＝E＋α(→)α(→)T/a，且B为A的逆矩阵，则a＝（ ）。A－2
B－1
C0
D1
正确答案： A解析：
由矩阵B是矩阵A的逆矩阵，所以有AB＝E。从而（E－ααT）（E＋ααT/a）＝E－ααT＋ααT/a－α（αTα）αT/a＝E，即ααT（1/a－1－2a2/a）＝0。
由于ααT≠0，故1/a－1－2a2/a＝0，又因a＜0，可得a＝－1。 -
第8题：
填空题设n维向量α(→)＝（a，0，…，0，a）T，a＜0，E为n阶单位矩阵，矩阵A＝E－α(→)α(→)T，B＝E＋α(→)α(→)T/a，且B为A的逆矩阵，则a＝____。正确答案： -1解析：
由矩阵B是矩阵A的逆矩阵，所以有AB＝E。从而（E－ααT）（E＋ααT/a）＝E－ααT＋ααT/a－α（αTα）αT/a＝E，即ααT（1/a－1－2a2/a）＝0。
由于ααT≠0，故1/a－1－2a2/a＝0，又因a＜0，可得a＝－1。 -
第9题：
单选题设α(→)1，α(→)2，…，α(→)s和β(→)1，β(→)2，…，β(→)t为两个n维向量组，且秩（α(→)1，α(→)2，…，α(→)s）＝秩（β(→)1，β(→)2，…，β(→)t）＝r，则（ ）。A此两个向量组等价
B秩（α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βt）＝r
C当α1，α2，…，αs可以由β1，β2，…，βt线性表示时，此二向量组等价
Ds＝t时，二向量组等价
正确答案： C解析：
两向量组等价的充要条件是所含向量的个数相等，且能相互线性表示。 -
第10题：
单选题设n维向量α(→)＝（a，0，…，0，a）T，a＜0，E为n阶单位矩阵，矩阵A＝E－α(→)α(→)T，B＝E＋α(→)α(→)T/a，且B为A的逆矩阵，则a＝（ ）。A－1
B1
C－2
D2
正确答案： A解析：
由矩阵B是矩阵A的逆矩阵，所以有AB＝E。从而（E－ααT）（E＋ααT/a）＝E－ααT＋ααT/a－α（αTα）αT/a＝E，即ααT（1/a－1－2a2/a）＝0。
由于ααT≠0，故1/a－1－2a2/a＝0，又因a＜0，可得a＝－1。 -
第11题：
问答题设A是n阶方阵，AAT＝E，|A|＜0，求|A＋E|，其中AT是A的转置矩阵。正确答案：
因为AAT=E,所以,A+E,=,A+AAT,=,A(E+AT),=,A,·,E+AT,=,A,·,E+A,,整理得,,A+E,(1-,A,)=0。由,A,<0,知1-,A,≠0,故,A+E,=0。解析： 暂无解析 -
第12题：
单选题设n维行向量α＝（1/2，0，…，0，1/2），矩阵A＝E－αTα，B＝E＋2αTα，其中E为n阶单位矩阵，则AB等于（ ）。AO
B－E
CE
DE＋αTα
正确答案： A解析：
注意利用ααT＝1/2来简化计算。AB＝（E－αTα）（E＋2αTα）＝E＋2αTα－αTα－2αTααTα＝E＋αTα－2αT（ααT）α＝E＋αTα－2·（1/2）αTα＝E。 -
第13题：
设非零n维列向量α,β正交且A=αβT.证明：A不可以相似对角化.答案：解析：
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第14题：
设α，β为三维列向量，矩阵A=αα^T+ββ^T，其中α^T，β^T分别是α，β的转置.证明：
(Ⅰ)秩r(A)≤2；
(Ⅱ)若α，β线性相关，则秩r(A)<2.答案：解析：【证明】(Ⅰ)因为α，β为三维列向量，那么αα^T和ββ^T都是三阶矩阵，
且秩r(αα^T)≤1，r(ββ^T)≤1.
那么，r(A)=r(αα^T+ββ^T)≤r(αα^T)+r(ββ^T)≤2.
(Ⅱ)由于α，β线性相关，不妨设α=kβ，于是
r(A)=r(αα^T+ββ^T)=r((1+k^2)ββ^T)≤r(β)≤1<2.
【评注】本题考查矩阵秩的性质公式.
(Ⅰ)中有两个基本知识点：①r(αα^T)≤1和②r(A+B)≤r(A)+r(B).
(Ⅱ)中有两个基本知识点：①α，β线性相关的几何意义和②r(kA)=r(A)，k≠0.
注意，如果分块矩阵比较熟悉，本题的(Ⅰ)也可如下处理：
因为
那么
从而r(A)≤2. -
第15题：
设α为三维单位列向量，E为三阶单位矩阵，则矩阵E-αα^T的秩为________.答案：解析：
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第16题：
设A为n阶非奇异矩阵，α为n维列向量，b为常数.记分块矩阵
.其中A*是矩阵A的伴随矩阵，E是n阶单位矩阵. （1）计算并化简PQ； （2）证明：矩阵Q可逆的充分必要条件是.
答案：解析：
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第17题：
设n阶矩阵A 满足
，其中s≠t，证明A可对角化答案：解析：
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第18题：
T（n）表示当输入规模为n时的算法效率，以下算法效率最优的是（）
- A、T（n）=T（n–1）+1，T（1）=1
- B、T（n）=2n2
- C、T（n）=T（n/2）+1，T（1）=1
- D、T（n）=3nlog2n
正确答案:C -
第19题：
问答题已知A＝（aij），B＝（bij）为两个n阶方阵。 X为n阶方阵。证明：AX＝B有解的充要条件是n＋1个矩阵A，A1，A2，…，An的秩相等。正确答案：
(1)必要性
设AX=B有解,令X1,X2,…,Xn是X的列向量,B1,B2,…,Bn是B的列向量。由AX=B有解知方程组AXk=Bk(k=1,2,…,n)有解,于是有r(A)=r(A┆Bk)=r(Ak)(k=1,2,…,n),即A,A1,A2,…,An的秩相等。
(2)充分性
若A,A1,A2,…,An的秩都相等,则方程组AXk=Bk有解。记其解为Ci(i=1,2,…,n),则AC=B(其中C是以Ci为列向量的矩阵),即C为AX=B的解,故AX=B有解。解析： 暂无解析 -
第20题：
问答题设A是n阶矩阵，且满足Am＝E，其中m为整数，E为n阶单位矩阵。令将A中的元素aij换成它的代数余子式Aij而成的矩阵为A(～)，证明：（A(～)）m＝E。正确答案：
因为Am=E,所以,Am,=,A,m=1,,A,=1≠0,即矩阵A可逆。
由题知A=(A*)T,其中A*为A的伴随矩阵。所以有(A)m=[(A*)T]m=[(,A,A-1)T]m=[(A-1)T]m=[(Am)-1]T=E。解析： 暂无解析 -
第21题：
问答题设A为n阶方阵，若对任意n维向量x(→)＝（x1，x2，…，xn）T都有Ax(→)＝0。证明：A＝0。正确答案：
由对任意n维向量x都有Ax=0,知对基本单位向量组ε1,ε2,…,εn,Aεi=0(i=1,2,…,n)成立。
所以有A(ε1,ε2,…,εn)=0,即AE=0,故A=0。解析： 暂无解析 -
第22题：
问答题设A为n阶方阵，若对任意n维向量X=（x1，x2，…，xn）T都有AX=0.证明：A=0.正确答案：
证明:由对任意n维向量X都有AX=0,知对基本单位向量组ε1,ε2,…,εn,Aεi=0(i=1,2,…,n)成立.
所以有A(ε1,ε2,…,εn)=0,即AE=0,故A=0.解析： 暂无解析 -
第23题：
填空题设A为n阶方阵，E为n阶单位矩阵，且A2＝A，则（A－2E）－1＝____。正确答案： -(A+E)/2解析：
由题设A2＝A有，A2－A－2E＝（A－2E）（A＋E）＝－2E，即（A－2E）[－（A＋E）/2]＝E，所以有（A－2E）－1＝－（A＋E）/2。