单选题已知函数的全微分df（x，y）＝（3x2＋4xy－y2＋1）dx＋（2x2－2xy＋3y2－1）dy，则f（x，y）等于（　　）。A x3＋2x2y－xy2＋y3＋x－y＋CB x3－2x2y＋xy2－y3＋x－y＋CC x3＋2x2y－xy2＋y3－x＋y＋CD x3＋2xy2－xy2＋y3＋x－y＋C

题目

单选题

已知函数的全微分df（x，y）＝（3x2＋4xy－y2＋1）dx＋（2x2－2xy＋3y2－1）dy，则f（x，y）等于（　　）。

x³＋2x²y－xy²＋y³＋x－y＋C

x³－2x²y＋xy²－y³＋x－y＋C

x³＋2x²y－xy²＋y³－x＋y＋C

x³＋2xy²－xy²＋y³＋x－y＋C

相似考题

1.设X、Y的联合分布函数是F(x,y),则F(＋∞,y)等于:()A、0;B、1;C、Y的分布函数;D、Y的密度函数。

2.设f(x),f'(x)为已知的连续函数，则微分方程y'十f'(x)y=f(x)f'(x)的通解是： A. y=f(x)+ce-f(x) B. y= f(x)ef(x) -ef(x) +c C. y=f(x)-1+ce-f(x) D. y=f(x)-1+cef(x)

3.已知由方程siny+xey，确定y是x的函数，则dy/dx的值是:

4.设f（x）、f'（x）为已知的连续函数，则微分方程y'+ f'（x）y = f（x）f'（x）的通解是：

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第1题：

设函数z=ln(x+y2)，则全微分dz=_______．

答案：
解析：
第2题：

已知微分方程y’+y=f(x)，其中f(x)是R上的连续函数.
　　(Ⅰ)若f(x)=x，求方程的通解.
　　(Ⅱ)若f(x)是周期为T的函数，证明：方程存在唯一的以T为周期的解.

答案：
解析：
【解】(Ⅰ)若f(x)=x，则方程为y'+y=x通解为

(Ⅱ)设y(x)为方程的任意解，则y'(x+T)+y(x+T)=f(x+T).
而f(x)周期为T，有f(x+T)=f(x).又y'(x)+y(x)=f(x).
因此y'(x+T)+y(x+T)-y'(x)-y(x)=0，有(e^x［y(x+T)-y(x)］)'=0，
即e^x［y(x+T)=y(x)］=C.取C=0得y(x+T)-y(x)=0，
y(x)为唯一以T为周期的解.
第3题：

设函数z=e2x+y则全微分出dz=______.

答案：
解析：
第4题：

函数z=xy2+y（lny-1）在x=1，y=1处的全微分dz等于（）．
- A、dx+dy
- B、dx-dy
- C、dx+2dy
- D、dx-2dy
正确答案:C
第5题：

填空题
设函数y＝y（x）由方程y＝f（x2＋y2）＋f（x＋y）所确定，且y（0）＝2，其中f是可导函数，f′（2）＝1/2，f′（4）＝1，则dy/dx|x＝0＝____。

正确答案： -1/7
解析：
由方程y＝f（x²＋y²）＋f（x＋y）。两边对x求导得y_x′＝f′（x²＋y²）（2x＋2y·y_x′）＋f′（x＋y）（1＋y_x′）。
又y（0）＝2，f′（2）＝1/2，f′（4）＝1，，故y′|_x_＝₀＝f′（4）·4y′|_x_＝₀＋f′（2）（1＋y′|_x_＝₀），y′|_x_＝₀＝4y′|_x_＝₀＋（1＋y′|_x_＝₀）/2，解得y′|_x_＝₀＝－1/7。
第6题：

单选题
设函数y＝y（x）由方程y＝f（x2＋y2）＋f（x＋y）所确定，且y（0）＝2，其中f是可导函数，f′（2）＝1/2，f′（4）＝1，则dy/dx|x＝0＝（　　）。
A
1/5
B
1/7
C
－1/7
D
－1/5

正确答案： B
解析：
由方程y＝f（x²＋y²）＋f（x＋y）。两边对x求导得y_x′＝f′（x²＋y²）（2x＋2y·y_x′）＋f′（x＋y）（1＋y_x′）。
又y（0）＝2，f′（2）＝1/2，f′（4）＝1，故y′|_x_＝₀＝f′（4）·4y′|_x_＝₀＋f′（2）（1＋y′|_x_＝₀），y′|_x_＝₀＝4y′|_x_＝₀＋（1＋y′|_x_＝₀）/2，解得y′|_x_＝₀＝－1/7。
第7题：

单选题
已知[（x＋ay）dx＋ydy]/（x＋y）2为某函数的全微分，则a等于（　　）。
A
－1
B
0
C
1
D
2

正确答案： A
解析：
令u＝（x＋ay）/（x＋y）²，v＝y/（x＋y）²，则∂u/∂y＝（x＋ay）（－2）（x＋y）^－³＋a（x＋y）^－²，∂v/∂x＝－2y（x＋y）^－³。
根据全微分的性质得∂u/∂y＝∂v/∂x，则―2x―2ay＋ax＋ay＝－2y，故a＝2。应选（D）。
第8题：

单选题
（2012）已知微分方程y′+p+（x）y=q（x）［q（x）≠0］有两个不同的特解y1（x），y2（x），则该微分方程的通解是：（c为任意常数）（）
A
y=c（y1-y2）
B
y=c（y1+y2）
C
y=y1+c（y1+y2）
D
y=y1+c（y1-y2）

正确答案： D
解析：暂无解析
第9题：

单选题
函数z=xy2+y（lny-1）在x=1，y=1处的全微分dz等于（）．
A
dx+dy
B
dx-dy
C
dx+2dy
D
dx-2dy

正确答案： A
解析：暂无解析
第10题：

单选题
设函数ψ（x）具有二阶连续导数，且ψ（0）＝ψ′（0）＝0，并已知yψ（x）dx＋[sinx－ψ′（x）]dy＝0是一个全微分方程，则ψ（x）等于（　　）。
A
（xsinx）/2
B
x³－x²/2
C
x²e^x
D
（xsinx）/2＋C₁cosx＋C₂sinx

正确答案： A
解析：
由于yψ（x）dx＋[sinx－ψ′（x）]dy＝0是一个全微分方程，则∂Q/∂x＝∂P/∂y，ψ″（x）＋ψ（x）＝cosx。从选项的结构中，可以看出，B、C项无正余弦，一定不是ψ″（x）＋ψ（x）＝cosx的特解，又因为（xsinx）/2＋C₁cosx＋C₂sinx中含有自由常数，故D项不是特解。将A项代入ψ″（x）＋ψ（x）＝cosx，等式两边相等，故A项是该方程特解。
第11题：

单选题
设方程x2＋y2＋z2＝4z确定可微函数z＝z（x，y），则全微分dz等于（　　）。[2014年真题]
A
（ydx＋xdy）/（2－z）
B
（xdx＋ydy）/（2－z）
C
（dx＋dy）/（2＋z）
D
（dx－dy）/（2－z）

正确答案： C
解析：
对等式两边分别同时求导，得：2xdx＋2ydy＋2zdz＝4dz。所以dz＝（xdx＋ydy）/（2－z）
第12题：

单选题
若已知df（x，y）＝（x2＋2xy－y2）dx＋（x2―2xy―y2）dy，则f（x，y）＝（　　）。
A
x³/3－x²y＋xy²－y³/3
B
x³/3－x²y－xy²－y³/3
C
x³/3＋x²y＋xy²－y³/3
D
x³/3＋x²y－xy²－y³/3＋C

正确答案： B
解析：
由题意可知，f_x′（x，y）＝x²＋2xy－y²，f_y′（x，y）＝x²－2xy－y²。
则f_x′（x，y）＝x²＋2xy－y²两边对x积分，得
f（x，y）＝x³/3＋x²y－xy²＋φ₁（y）①
f_y′（x，y）＝x²－2xy－y²两边对y积分得
f（x，y）＝x²y－xy²－y³/3＋φ₂（x）②
对比①②式得φ₁（y）＝－y³/3＋c₁，φ₂（x）＝x³/3＋c₂。则f（x，y）＝x³/3＋x²y－xy²－y³/3＋C
第13题：

设函数z=ln(x+y)，则全微分dz=________．

答案：
解析：
第14题：

若函数z=ln(xy)/y,则当x=e,y=e-1时，全微分dz等于（）。

A. edx + dy B. e2dx-dy C. dx + e2dy D. edx+e2dy

答案：C
解析：
正确答案是C。
第15题：

函数y=xlnx的微分dy=（）。
- A、lnxdx
- B、（1/x）dx
- C、xdx
- D、（lnx+1）dx
正确答案:D
第16题：

若函数，则当x=e，y=e-1时，全微分dz等于（）。
- A、edx+dy
- B、e2dx-dy
- C、dx+e2dy
- D、edx+e2dy
正确答案:C
第17题：

单选题
设函数y＝f（x）具有二阶导数，且f′（x）＝f（π/2－x），则该函数满足的微分方程为（　　）。
A
f″（x）＋f（x）＝0
B
f′（x）＋f（x）＝0
C
f″（x）＋f′（x）＝0
D
f″（x）＋f′（x）＋f（x）＝0

正确答案： A
解析：
由f′（x）＝f（π/2－x），两边求导得f″（x）＝－f′（π/2－x）＝－f[π/2－（π/2－x）]＝－f（x），即f″（x）＋f（x）＝0。
第18题：

填空题
设函数y＝y（x）由方程ln（x2＋y）＝x3y＋sinx确定，则（dy/dx）|x＝0＝____。

正确答案： 1
解析：
ln（x²＋y）＝x³y＋sinx两边同时对x求导，得（2x＋y′）/（x²＋y）＝3x²y＋x³y′＋cosx，当x＝0时，y＝1，代入上式得y′（0）＝1。
第19题：

单选题
已知函数的全微分df（x，y）＝（3x2＋4xy－y2＋1）dx＋（2x2－2xy＋3y2－1）dy，则f（x，y）等于（　　）。
A
x³＋2x²y－xy²＋y³＋x－y＋C
B
x³－2x²y＋xy²－y³＋x－y＋C
C
x³＋2x²y－xy²＋y³－x＋y＋C
D
x³＋2xy²－xy²＋y³＋x－y＋C

正确答案： B
解析：
由题意知∂f/∂x＝3x²＋4xy－y²＋1，两边对x求积分，则f＝∫（∂f/∂x）dx＝x³＋2x²y－xy²＋x＋C（y），∂f/∂y＝2x²－2xy＋C′（y），又因为∂f/∂y＝2x²－2xy＋3y²－1，故C′（y）＝3y²－1，进而有C（y）＝y³－y＋C，f＝x³＋2x²y－xy²＋y³＋x－y＋C。故应选（A）。
第20题：

单选题
若函数，则当x=e，y=e-1时，全微分dz等于（）。
A
edx+dy
B
e2dx-dy
C
dx+e2dy
D
edx+e2dy

正确答案： B
解析：暂无解析
第21题：

单选题
设函数y＝y（x）由方程y＝f（x2＋y2）＋f（x＋y）所确定，且y（0）＝2，其中f是可导函数，f′（2）＝1/2，f′（4）＝1，则dy/dx|x＝0＝（　　）。
A
1
B
－1
C
1/7
D
－1/7

正确答案： B
解析：
由方程y＝f（x²＋y²）＋f（x＋y）。两边对x求导得y_x′＝f′（x²＋y²）（2x＋2y·y_x′）＋f′（x＋y）（1＋y_x′）。
又y（0）＝2，f′（2）＝1/2，f′（4）＝1，故y′|_x_＝0＝f′（4）·4y′|_x_＝0＋f′（2）（1＋y′|_x_＝0），y′|_x_＝0＝4y′|_x_＝0＋（1＋y′|_x_＝0）/2，解得y′|_x_＝0＝－1/7。
第22题：

单选题
设函数φ（x）具有二阶连续导数且φ（0）＝0，并且已知yφ（x）dx＋[sinx－φ（x）]dy＝0是一个全微分方程，则φ（x）＝（　　）。
A
－e^－^x/2＋（cosx）/2＋（sinx）/2
B
x³－x²/2＋1
C
x²e^x－2
D
（xcosx）/2＋C₁cosx＋C₂sinx

正确答案： D
解析：
由于yφ（x）dx＋[sinx－φ（x）]dy＝0是一个全微分方程，故∂Q/∂x＝∂P/∂y即cosx－φ′（x）＝φ（x）。即φ′（x）＋φ（x）＝cosx。解此一阶微分方程得φ（x）＝ce^－^x＋（cosx）/2＋（sinx）/2。又φ（0）＝0，代入上式得c＝－1/2，故φ（x）＝－e^－^x/2＋（cosx）/2＋（sinx）/2。
第23题：

单选题
设函数z＝f（x，y）的全微分为dz＝xdx＋ydy，则点（0，0）（　　）。
A
不是f（x，y）的连续点
B
不是f（x，y）的极值点
C
是f（x，y）的极大值点
D
是f（x，y）的极小值点

正确答案： D
解析：
函数的全微分为dz＝xdx＋ydy，则∂z/∂x＝x，∂z/∂y＝y，故∂²z/∂x²|_（₀_，₀_）＝1＝A，∂²z/∂x∂y|_（₀_，₀_）＝0＝B，∂²z/∂y²|_（₀_，₀_）＝1＝C，又∂z/∂x|_（₀_，₀_）＝0，∂z/∂y|_（₀_，₀_）＝0，则B²－AC＝－1＜0，A＞0。故（0，0）是函数f（x，y）的极小值点。
第24题：

单选题
设函数y＝f（x）具有二阶导数，且f′（x）＝f（π/2－x），则该函数满足的微分方程为（　　）。
A
f′（x）＋f（x）＝0
B
f′（x）－f（x）＝0
C
f″（x）＋f（x）＝0
D
f″（x）－f（x）＝0

正确答案： D
解析：
由f′（x）＝f（π/2－x），两边求导得f″（x）＝－f′（π/2－x）＝－f[π/2－（π/2－x）]＝－f（x），即f″（x）＋f（x）＝0。

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题目

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