问答题设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组Akx(→)＝0(→)有解向量α，且Ak－1α(→)≠0(→)，证明：向量组α(→)，Aα(→)，…，Ak－1α(→)是线性无关的。
题目
问答题
设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组Akx(→)＝0(→)有解向量α，且Ak－1α(→)≠0(→)，证明：向量组α(→)，Aα(→)，…，Ak－1α(→)是线性无关的。
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参考答案和解析
正确答案：
根据定义可设l0α+l1Aα+…+lk-1Ak-1α=0。
当k≥2时,左乘Ak-1得到l0Ak-1α+l1Akα+…+lk-1A2k-2α=0,因为Akα=0,则l0Ak-1α=0,但Ak-1α≠0,则l0=0,l1Aα+…+lk-1Ak-1α=0。
类似,依次左乘Ak-2,Ak-3,…,得到l1=…=lk-1=0,因此当k≥2时,α,Aα,…,Ak-1α线性无关。
当k=1时,Ak-1α≠0,则α≠0,向量α线性无关。
综上,向量组α,Aα,…,Ak-1α是线性无关的。
根据定义可设l0α+l1Aα+…+lk-1Ak-1α=0。
当k≥2时,左乘Ak-1得到l0Ak-1α+l1Akα+…+lk-1A2k-2α=0,因为Akα=0,则l0Ak-1α=0,但Ak-1α≠0,则l0=0,l1Aα+…+lk-1Ak-1α=0。
类似,依次左乘Ak-2,Ak-3,…,得到l1=…=lk-1=0,因此当k≥2时,α,Aα,…,Ak-1α线性无关。
当k=1时,Ak-1α≠0,则α≠0,向量α线性无关。
综上,向量组α,Aα,…,Ak-1α是线性无关的。
解析：
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