问答题证明： （1）若α(→)1，α(→)2，…，α(→)r是A的属于特征值λ的特征向量，则α(→)1，α(→)2，…，α(→)r的任一个非零线性组合也是A的属于λ的特征向量。 （2）矩阵可逆的充分必要条件是它的特征值都不为0。
题目
问答题
证明： （1）若α(→)1，α(→)2，…，α(→)r是A的属于特征值λ的特征向量，则α(→)1，α(→)2，…，α(→)r的任一个非零线性组合也是A的属于λ的特征向量。 （2）矩阵可逆的充分必要条件是它的特征值都不为0。
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第1题：
设二维非零向量α不是二阶方阵A的特征向量.
(1)证明α,Aα线性无关；
(2)若Aα^2+Aα-6α=0,求A的特征值,讨论A可否对角化；答案：解析：
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第2题：
已知二阶实对称矩阵A的特征值是1，A的对应于特征值1的特征向量为（1，－1）T，若|A|＝－1，则A的另一个特征值及其对应的特征向量是（ ）。
答案：B解析：根据矩阵行列式与特征值的关系：|A|＝λ1λ2，故另一个特征值为－1，其对应的特征向量应与已知特征向量正交，即两向量点乘等于零，因此（1，1）T满足要求。 -
第3题：
设A是3阶实对称矩阵，P是3阶可逆矩阵，B=P-1AP，已知a是A的属于特征值λ的特征向量，则B的属于特征值A的特征向量是：A. Pa
B. P-1a
C.PTa
D.(P-1)Ta答案：B解析：提示 利用矩阵的特征值、特征向量的定义判定，即问满足式子Bx=λx中的x是什么向量？已知a是A属于特征值λ的特征向量，故：
Aa=λa ①
将已知式子B=P-1AP两边，左乘矩阵P，右乘矩阵P-1，得PBP-1=PP-1APP-1，化简为PBP-1=A，即：
A=PBP-1 ②
将式②代入式①，得：
PBP-1a=λa③
将③两边左乘P-1，得BP-1a=λP-1a
即B(P-1a)=λ(P-1a)，成立。 -
第4题：
设A是3阶实对称矩阵，P是3阶可逆矩阵，B=P-1AP，已知a是A的属于特征值λ的特征向量，则B的属于特征值λ的特征向量是：
A. Pa B. P-1A C. PTa D.（P-1）Ta答案：B解析：
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第5题：
设A是三阶矩阵，a1(1,0,1)T，a2(1,1,0)T是A的属于特征值1的特征向量，a3(0,1,2)T是A的属于特征值-1的特征向量，则：A.a1-a2是A的属于特征值1的特征向量
B.a1-a3是A的属于特征值1的特征向量
C.a1-a3是A的属于特征值2的特征向量
D. a1+a2+a3是A的属于特征值1的特征向量答案：A解析：提示 已知a1,a2是矩阵A属于特征值1的特征向量，即有Aa1=1*a1,Aa2=1*a2成立，则A(a1-a2)=1*(a1-a2)，a1-a2为非零向量，因此a1-a2是A属于特征值1的特征向量。 -
第6题：
设三阶矩阵A的特征值为λ1=1,λ2=0,λ3=1,则下列结论不正确的是().A.矩阵A不可逆
B.矩阵A的迹为零
C.特征值-1,1对应的特征向量正交
D.方程组AX=0的基础解系含有一个线性无关的解向量答案：C解析：由λ1=-1，λ2=0，λ3=1得|A|=0，则r(A)小于3，即A不可逆，(A)正确；又λ1+λ2+λ3=tr(A)=0，所以(B)正确；因为A的三个特征值都为单值，所以A的非零特征值的个数与矩阵A的秩相等，即r(A)=2，从而AX=0的基础解系仅含有一个线性无关的解向量，(D)是正确的；(C)不对，因为只有实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量正交，一般矩阵不一定有此性质，所以选(C). -
第7题：
设λ1，λ2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为a1，a2，则a1，A(a1+a2)线性无关的充分必要条件是( )。
A.λ1=0
B.λ2=0
C.λ1≠0
D.λ2≠0答案：D解析：
-
第8题：
设n阶矩阵A可逆，α是A的属于特征值λ的特征向量，则下列结论中不正确的是( )。
A. α是矩阵-2A的属于特征值-2λ的特征向量
D. α是矩阵AT的属于特征值λ的特征向量答案：D解析：提示：显然A、B、C都是正确的。 -
第9题：
已知λ=2是三阶矩阵A的一个特征值，α1，α2是A的属于λ=2的特征向量。若α1=（1，2，0）T，α2=（1，0，1）T，向量β=（-1，2，-2）T，则Aβ等于（）。
- A、（2，2，1）T
- B、（-1，2，_2）T
- C、（-2，4，-4）T
- D、（-2，-4，4）
正确答案:C -
第10题：
单选题设λ1，λ2是矩阵A的两个不同的特征值，ξ，η是A的分别属于λ1，λ2的特征向量，则以下选项中正确的是（ ）。A对任意的k1≠0和k2≠0，k1ξ+k2η都是A的特征向量
B存在常数k1≠0和 k2≠0，使得k1ξ+k2η是A的特征向量
C对任意的k1≠0和k2≠0，k1ξ+k2η都不是A的特征向量
D仅当k1=k2=0时，k1ξ+k2η是A的特征向量
正确答案： C解析：
ξ、η是A的分别属于λ1，λ2的特征向量，则：Aξ=λ1ξ，Aη=λ2η，A（k1ξ+k2η）=k1Aξ+k2Aη=k1λ1ξ+k2λ2η，当λ1≠λ2时，k1ξ+k2η就不是矩阵A的特征向量。 -
第11题：
问答题证明： （1）若α(→)1，α(→)2，…，α(→)r是A的属于特征值λ的特征向量，则α(→)1，α(→)2，…，α(→)r的任一个非零线性组合也是A的属于λ的特征向量。 （2）矩阵可逆的充分必要条件是它的特征值都不为0。正确答案：
(1)因为α1,α2,…,αr是A的属于特征值λ的特征向量,则有Aαi=λαi(i=1,2,…,r)。设k1α1+k2α2+…+krαr是α1,α2,…,αr的任一非零线性组合,则
A(k1α1+k2α2+…+krαr)=k1Aα1+k2Aα2+…+krAαr=k1λα1+k2λα2+…+krλαr=λ(k1α1+k2α2+…+krαr)
由定义知k1α1+k2α2+…+krαr是A的属于特征值λ的特征向量。
(2)必要性
设矩阵A可逆,可知行列式,A,≠0。
由于,A,=λ1λ2…λn,故λi≠0(i=1,2,…,n)。
充分性
由矩阵A的特征值λi≠0(i=1,2,…,n),知,A,=λ1λ2…λn≠0,即矩阵A可逆。解析： 暂无解析 -
第12题：
单选题（2009）设A是3阶实对称矩阵，P是3阶可逆矩阵，B=P-1AP，已知α是A的属于特征值λ的特征向量，则B的属于特征值λ的特征向量是：（）APα
BP-1α
CPTα
D（P-1）Tα
正确答案： B解析： 暂无解析 -
第13题：
设2阶矩阵A有两个不同特征值，α1，α2是A的线性无关的特征向量，且满足A^2(α1+α2)=α1+α2，则｜A｜=________.答案：1、-1解析：
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第14题：
已知三维列向量a，β满足aTβ，设3阶矩阵A=βaT，则:A. β是A的属于特征值0的特征向量
B. a是A的属于特征值0的特征向量
C. β是A的属于特征值3的特征向量
D. a是A的属于特征值3的特征向量答案：C解析：提示 通过矩阵的特征值、特征向量的定义判定。只要满足式子Ax=λx，向量x 即为矩阵A对应特征值λ的特征向量。
再利用题目给出的条件：
aTβ=3 ①
A=βaT ②
将等式②两边均乘β，得A*β=βaT*β，变形Aβ=β(aTβ)，代入式①得Aβ=β*3，故Aβ=3*β成立。 -
第15题：
设λ1，λ2是矩阵A的2个不同的特征值，ξ，η是A的分别属于λ1，λ2的特征向量，则以下选项中正确的是：A. 对任意的k1≠0和k2≠0，k1ξ+k2η都是A的特征向量
B.存在常数k1≠0和k2≠0，使得k1ξ+k2η是A的特征向量
C.存在任意的k1≠0和k2≠0，k1ξ+k2η都不是A的特征向量
D.仅当k1=0和k2=0，k1ξ+k2η是A的特征向量答案：C解析：提示 特征向量必须是非零向量，选项D错误。 由矩阵的特征值、特征向量关系可知:①当ξ、η是A对应特征值λ的特征向量，当k1≠0，k2≠0时，k1ξ+k2η仍是A对应λ的特征向量。
②如果ξ、η是A对应不同特征值的特征向量，则k1ξ+k2η不是A的特征向量。
所以选项A、B均不成立。 -
第16题：
已知三维列向量αβ满足αTβ=3，设3阶矩阵A=βαT，则：A. β是A的属于特征值0的特征向量
B. α是A的属于特征值0的特征向量
C. β是A的属于特征值3的特征向量
D. α是A的属于特征值3的特征向量答案：C解析：通过矩阵的特征值、特征向量的定义判定。只要满足式子Ax=λx，向量x即为矩阵A对应特征值λ的特征向量。
再利用题目给出的条件：
αTβ=3 ①
A=βαT ②
将等式②两边均乘β，得辱A*β=βαT*β，变形Aβ=β（αTβ），代入式①得Aβ=β*3，故Aβ=3*β成立。 -
第17题：
A.β是A的属于特征值0的特征向量
B.α是A的属于特征值0的特征向量
C.β是A的属于特征值2的特征向量
D.α是A的属于特征值2的特征向量答案：D解析：
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第18题：
设λ1，λ2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为α1，α2，则α1，A(α1+α2)线性无关的充分必要条件是( )。A、λ1=0
B、λ2=0
C、λ1≠0
D、λ2≠0答案：D解析：
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第19题：
设λ1、λ2是矩阵A的两个不同的特征值，ξ、η是A的分别属于λ1、λ2的特征向量，则以下选项正确的是( )。
答案：C解析：
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第20题：
设n阶矩阵A可逆，α是A的属于特征值λ的特征向量，则下列结论中不正确的是（）。
- A、α是矩阵-2A的属于特征值-2λ的特征向量
- B、α是矩阵的属于特征值的特征向量
- C、α是矩阵A*的属于特征值的特征向量
- D、α是矩阵AT的属于特征值λ的特征向量
正确答案:D -
第21题：
设λ1，λ2是矩阵A的两个不同的特征值，ξ、η是a的分别属于λ1、λ2的特征向量，则以下选项正确的是（）。
- A、对任意的k1≠0和k2≠0，k1ξ+k2η都是A的特征向量
- B、存在常数k1≠0和k2≠0，使得k1ξ+k2η是A的特征向量
- C、对任意的k1≠0和k2≠0，k1ξ+k2η都不是A的特征向量
- D、仅当k1=k2=0时，k1ξ+k2η是A的特征向量
正确答案:C -
第22题：
单选题设n阶矩阵A可逆，α是A的属于特征值λ的特征向量，则下列结论中不正确的是（）。Aα是矩阵-2A的属于特征值-2λ的特征向量
Bα是矩阵的属于特征值的特征向量
Cα是矩阵A*的属于特征值的特征向量
Dα是矩阵AT的属于特征值λ的特征向量
正确答案： B解析： 暂无解析 -
第23题：
问答题设有三个非零的n阶（n≥3）方阵A1、A2、A3，满足Ai2＝Ai（i＝1，2，3），且AiAj＝0（i≠j，i、j＝1，2，3），证明： （1）Ai（i＝1，2，3）的特征值有且仅有0和1； （2）Ai的对应于特征值1的特征向量是Aj的对应于特征值0的特征向量（i≠j）； （3）若α(→)1、α(→)2、α(→)3分别为A1、A2、A3的对应于特征值1的特征向量，则向量组α(→)1、α(→)2、α(→)3线性无关。正确答案：
(1)设λi为矩阵Ai的特征值,αi(αi≠0)是Ai的属于特征值λi的特征向量,则有λiαi=Aiαi=Ai2αi=λiAiαi=λi2αi,所以(λi-λi2)αi=0。
由αi≠0知λi-λi2=0,所以λi=0或1,即若Ai有特征值,则只能是0或1。
由Ai2=Ai得Ai(Ai-E)=0,因为AiAj=0(i≠j)且Ai≠0(i=1,2,3),所以Ai≠E,即Ai-E≠0。所以知Ai的列向量都是齐次线性方程组AiX=0的解,且AiX=0有非零解。
从而,Ai,=0,即,Ai-0E,=0。即0是Ai的特征值,同理可证1也是Ai的特征值。
(2)设Ai属于特征值1的特征向量为αi,则Aiαi=αi,AjAiαi=Ajαi(i≠j)。
因为AiAj=0(i≠j),所以AjAi=0,Ajαi=0αi,故Ai的属于特征值1的特征向量是Aj属于特征值0的特征向量。
(3)设有数k1,k2,k3使k1α1+k2α2+k3α3=0,即k1A1α1+k2A1α2+k3A1α3=0,根据(2)可知α2,α3应是A1的属于特征值0的特征向量,即A1α2=0,A1α3=0。
故有k1A1α1=k1·1·α1=k1α1=0,由α1≠0,故k1=0。同理可证k2=k3=0,因此α1、α2、α3线性无关。解析： 暂无解析 -
第24题：
单选题设λ1，λ2是矩阵A的2个不同的特征值，ξ，η是A的分别属于λ1，λ2的特征向量，则以下选项中正确的是：（）A对任意的k1≠0和k2≠0，k1ξ+k2η，都是A的特征向量
B存在常数k1≠0和k2≠0，使得k1ξ+k2η，是A的特征向量
C存在任意的k1≠0和k2≠0，k1ξ+k2η，都不是A的特征向量
D仅当k1=k2=0时，k1ξ+k2η，是A的特征向量
正确答案： C解析： 暂无解析