问答题设f（x）在闭区间[0，c]上连续，其导数f′（x）在开区间（0，c）内存在且单调减少，f（0）＝0，试应用拉格朗日中值定理证明不等式：f（a＋b）≤f（a）＋f（b），其中a，b满足条件0≤a≤b≤a＋b≤c。
题目
问答题
设f（x）在闭区间[0，c]上连续，其导数f′（x）在开区间（0，c）内存在且单调减少，f（0）＝0，试应用拉格朗日中值定理证明不等式：f（a＋b）≤f（a）＋f（b），其中a，b满足条件0≤a≤b≤a＋b≤c。
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第1题：
设函数f(x)在区间［0，1］上具有2阶导数，且
，证明：
(Ⅰ)方程f(x)=0在区间(0，1)内至少存在一个实根；
(Ⅱ)方程
在区间(0，1)内至少存在两个不同实根.答案：解析：
-
第2题：
设函数f(x)在(-∞，+∞)上是奇函数，在(0，+∞)内有f'(x)＜0， f''(x)＞0，则在(-∞，0)内必有：A. f'＞0， f''＞0
B.f'＜0， f''＜0
C. f'＜0， f''＞0
D. f'＞0， f''＜0答案：B解析：提示：已知f(x)在(-∞，+∞)上是奇函数，图形关于原点对称，由已知条件f(x)在(0，+∞)，f'＜0单减， f''＞0凹向，即f(x)在(0，+∞)画出的图形为凹减，从而可推出关于原点对称的函数在(-∞，0)应为凸减，因而f'＜0， f''＜0。 -
第3题：
设函数f(x)在x=a的某个邻域内连续，且f(a)为其极大值，则存在δ＞0，当x∈(a-δ，a+δ)时，必有( )。A.(x-a)[f(x)-f(a)]≥0
B.(x-a)[f(x)-f(a)]≤0
C.
D.
答案：C解析：
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第4题：
设f（x）的二阶导数存在，且f′（x）=f（1-x），则下列式中何式可成立（）？
- A、f″（x）+f′（x）=0
- B、f″（x）-f′（x）=0
- C、f″（x）+f（x）=0
- D、f″（x）-f（x）=0
正确答案:C -
第5题：
设函数f（x）在（-∞，+∞）上是偶函数，且在（0，+∞）内有f＇（x）>0，f＂（x）>0，则在（-∞，0）内必有（）。
- A、f＇（x）>0，f＂（x）>0
- B、f＇（x）<0，f＂（x）>0
- C、f＇（x）>O，f＂（x）<0
- D、f＇（x）<0，f＂（x）<0
正确答案:B -
第6题：
问答题设f′（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，且f（a）f（b）＞0，f（a）f[（a＋b）/2]＜0，试证至少存在一个点ξ∈（a，b）使f′（ξ）＝f（ξ）。正确答案：
构造函数F(x)=e-xf(x)。
不妨设f(a)>0,则f(b)>0,f[(a+b)/2]<0。故F(a)=e-af(a)>0,F[(b+a)/2]=e-(b+a)/2f[(b+a)/2]<0,F(b)=e-bf(b)>0。
又F(x)在[a,(b+a)/2]和[(b+a)/2,b]上连续,则必∃c1∈(a,(b+a)/2),c2∈((b+a)/2,b),使F(c1)=F(c2)=0。
F(x)在[c1,c2]上满足罗尔定理的条件,故∃ξ∈(c1,c2)⊂(a,b),使F′(ξ)=e-ξ[f′(ξ)-f(ξ)]=0,即f′(ξ)=f(ξ),(e-ξ>0)。解析： 暂无解析 -
第7题：
问答题设f（x）在[0，π]上连续，在（0，π）内可导，证明：必∃ξ∈（0，π），使f′（ξ）＋3f（ξ）cotξ＝0。正确答案：
构造函数φ(x)=sin3x·f(x),则由于f(x)在[0,π]上连续,故φ(x)也在[0,π]上连续。
且φ′(x)=sin3x·f′(x)+3sin2xcosx·f(x)在(0,π)有意义。
又φ(0)=φ(π)=0,根据罗尔定理得,必∃ξ∈(0,π),使φ′(ξ)=sin3ξ·f′(ξ)+3sin2ξcosξ·f(ξ)=0,即sin3ξ[f′(ξ)+3f(ξ)cotξ]=0。
而(0,π)上sinξ≠0。故f′(ξ)+3f(ξ)cotξ=0。解析： 暂无解析 -
第8题：
问答题设f（x）在[0，1]上具有二阶导数，且满足条件|f（x）|≤a，|f″（x）|≤b（其中a、b都是非负常数），c是（0，1）内任一点。 （1）写出f（x）在点x＝c处带拉格朗日余项的一阶泰勒公式； （2）证明：|f′（c）|＜2a＋b/2。正确答案：
(1)f(x)在x=c处带拉格朗日余项的一阶泰勒公式为f(x)=f(c)+f′(c)(x-c)+f″(ξ)(x-c)2/(2!),其中ξ介于x和c之间。
(2)证明:在(1)中所得结论中,令x=0得
f(0)=f(c)+f′(c)(-c)+f″(ξ1)c2/(2!)①
令x=1得
f(1)=f(c)+f′(c)(1-c)+f″(ξ2)(1-c)2/(2!)②
②-①得f(1)-f(0)=f′(c)+[(1-c)2f″(ξ2)-c2f″(ξ1)]/2,则
,f′(c),=,f(1)-f(0)-[(1-c)2f″(ξ2)-c2f″(ξ1)]/2,≤,f(1),+,f(0),+,f″(ξ2),(1-c)2/2+c2,f″(ξ1),/2≤a+a+b[(1-c)2+c2]/2
又0解析： 暂无解析 -
第9题：
单选题设y＝f（x）满足关系式y″－2y′＋4y＝0，且f（x0）＞0，f′（x0）＝0，则f（x）在x0点处（ ）。A取得极大值
B取得极小值
C在x0点某邻域内单调增加
D在x0点某邻域内单调减少
正确答案： D解析：
由于f（x0）＞0，f′（x0）＝0，有f″（x0）－2f′（x0）＋4f（x0）＝f″（x0）＋4f（x0）＝0，所以有f″（x0）＜0，故f（x）在点x0处取得极大值，故应选（A）。 -
第10题：
判断题设偶函数f（x）在区间（-1，1）内具有二阶导数，且f″（0）=f′（0）+1，则f（0）为f（x）的一个极小值。A对
B错
正确答案： 错解析： 暂无解析 -
第11题：
问答题设f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，且f（a）·f（b）＞0，f（a）·f[（a＋b）/2]＜0。试证：对任意实数k，∃ξ∈（a，b），使得f′（ξ）＝kf（ξ）。正确答案：
令F(x)=e-kxf(x)(a≤x≤b),则F(a)F(b)>0,F(a)F[(a+b)/2]<0,由介值定理得∃ξ1ξ2:a<ξ1<(a+b)/2<ξ2
由罗尔定理得∃ξ∈(ξ1,ξ2)⊂(a,b),使得F′(ξ)=0,即e-kξ[f′(ξ)-kf(ξ)]=0。故f′(ξ)=kf(ξ)。解析： 暂无解析 -
第12题：
问答题设f（x）在闭区间[0，c]上连续，其导数f′（x）在开区间（0，c）内存在且单调减少，f（0）＝0，试应用拉格朗日中值定理证明不等式：f（a＋b）≤f（a）＋f（b），其中a，b满足条件0≤a≤b≤a＋b≤c。正确答案：
f(a+b)-f(a)-f(b)=[f(a+b)-f(b)]-[f(a)-f(0)]。
因为f(x)在区间(0,a),(b,a+b)上满足拉格朗日中值定理,因此分别存在ξ∈(0,a),η∈(b,a+b),使得f(a)-f(0)=af′(ξ),f(a+b)-f(b)=af′(η),从而有f(a+b)-f(a)-f(b)=a[f′(η)-f′(ξ)]。
又f′(x)在(0,c)上单调减少,故f′(η)≤f′(ξ),故f(a+b)-f(a)-f(b)≤0,即f(a+b)≤f(a)+f(b)。解析： 暂无解析 -
第13题：
(Ⅰ)证明拉格朗日中值定理：若函数f(x)在［a，b］上连续，在(a，b)内可导，则存在ξ∈(a，b)，使得f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)；(Ⅱ)证明：若函数f(x)在x=0处连续，在(0，δ)(δ>0)内可导，且
=A，则
存在，且.
答案：解析：
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第14题：
设函数f(x)在(-∞，+∞)上是偶函数，且在(0，+∞)内有f'(x)＞0， f''(x)＞0，则在(-∞，0)内必有：A. f'(x)＞0， f''(x)＞0
B.f'(x)＜0， f''(x)＞0
C. f'(x)＞0， f''(x)＜0
D. f'(x)＜0， f''(x)＜0答案：B解析：提示 已知f(x)在(-∞，+∞)上是偶函数，函数图像关于y轴对称，已知函数在(0，+∞)，f'(x)＞0， f''(x)＞0，表明在(0，+∞)上函数图像为单增且凹向，由对称性可知，f(x)在(-∞，0)单减且凹向，所以f'(x)＜0， f''(x)＞0。 -
第15题：
设函数f(x)在(-∞,+∞)上是偶函数，且在(0,+∞)内有f'(x)>0,f''(x)>0,则在(-∞,0)内必有（ ）。
A. f'(x)>0,f''(x)>0 B. f(x) 0
C. f'(x)>0,f''(x)答案：B解析：提示：f(x)在(-∞,+∞)上是偶函数，f'(x)在(-∞,+∞)在上是奇函数，f''(x)在(-∞,+∞)在上是偶函数，故应选B。 -
第16题：
设偶函数f（x）在区间（-1，1）内具有二阶导数，且f″（0）=f′（0）+1，则f（0）为f（x）的一个极小值。
正确答案:正确 -
第17题：
问答题设f（x）在[a，＋∞）上连续，在（a，＋∞）内可导，且f′（x）＞k＞0（k为常数），又f（a）＜0，证明方程f（x）＝0在（a，a－f（a）/k）内有唯一实根。正确答案：
由题设条件f(a)<0,k>0可得a-f(a)/k>a。
令b=a-f(a)/k,根据拉格朗日中值定理得
f(b)=f(a)+f′(ξ)(b-a)=f(a)+f′(ξ)[-f(a)/k]=-f(a)[f′(ξ)/k-1]>0,(a<ξ
由零点定理得f(x)=0在(a,b)内至少有一个实根。又f′(x)>0,即f(x)单调增加。故f(x)=0在(a,b)内仅有一个实根。解析： 暂无解析 -
第18题：
单选题设函数f（x）在区间[1，＋∞）内二阶可导，且满足条件f（1）＝f′（1）＝0，x＞1时f″（x）＜0，则g（x）＝f（x）/x在（1，＋∞）内（ ）。A曲线是向上凹的
B曲线是向上凸的
C单调减少
D单调增加
正确答案： A解析：
判断函数的单调性及凹凸性，需求出其导函数和二阶导数，并判断其正负号。g′（x）＝[xf′（x）－f（x）]/x2，构造函数F（x）＝xf′（x）－f（x），F′（x）＝xf″（x）＜0（题中已给出f″（x）＜0），故F（x）单调减少。则F（x）＜F（1）＝0，故g′（x）＜0，即g（x）在（1，＋∞）内单调减少。 -
第19题：
问答题设不恒为常数的函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内可导，且f（a）＝f（b）。证明：在（a，b）内至少存在一点ξ，使得f′（ξ）＞0。正确答案：
因为f(x)不恒为常数,且f(a)=f(b),故必存在一点c∈(a,b),满足f(c)≠f(a)=f(b)。
若f(c)>f(a)=f(b),f(x)在[a,c]上满足拉格朗日中值定理,故至少存在一点ξ∈(a,c)⊂(a,b),使得f′(ξ)=[f(c)-f(a)]/(c-a)>0。
若f(c)解析： 暂无解析 -
第20题：
问答题设函数f（x）在闭区间[0，1]上可微，对于[0，1]上的每一个x，函数f（x）的值都在开区间（0，1）内，且f′（x）≠1，证明在（0，1）内有且仅有一个x，使得f（x）＝x。正确答案：
首先证明存在性。
作辅助函数F(x)=f(x)-x,由题设0
根据连续函数介值定理,在(0,1)上至少存在一点ξ∈(0,1),使得F(ξ)=0。即f(ξ)-ξ=0。
用反证法证明唯一性。
设0
根据罗尔定理知,存在x0∈(x1,x2)⊂(0,1)使得F′(x0)=0,即f′(x0)=1,这与题目中f′(x)≠1相矛盾,故在(0,1)内有且仅有一个x,使得f(x)=x。解析： 暂无解析 -
第21题：
单选题设f（x）＝－f（－x），x∈（－∞，＋∞），且在（0，＋∞）内f′（x）＞0，f″（x）＜0，则在（－∞，0）内（ ）。Af′（x）＞0，f″（x）＞0
Bf′（x）＞0，f″（x）＜0
Cf′（x）＜0，f″（x）＞0
Df′（x）＜0，f″（x）＜0
正确答案： B解析：
f（x）＝－f（－x）⇔f（－x）＝－f（x），则f（x）为奇函数。又f（x）可导，则f′（x）为偶函数，f″（x）存在且为奇函数，故在（－∞，0）内，f′（x）＞0，f″（x）＞0。 -
第22题：
问答题设在[0，＋∞]上函数f（x）有连续导数，且f′（x）≥k＞0，f（0）＜0，证明：在（0，＋∞]内有且仅有一个零点。正确答案：
∀x∈(0,+∞),由拉格朗日中值定理,至少存在一点ξ∈(0,x)使得f(x)-f(0)=f′(ξ)x≥kx。取x1>-f(0)/k>0,则有f(x1)>k[-f(0)/k]+f(0)=0。
根据题意有f(0)<0,故有零点定理得,至少存在一点x0∈(0,x1),使得f(x0)=0。
又因为f′(x)>0,故f(x)在(0,+∞)上单调递增。因此f(x)在(0,+∞)上有且只有一个零点。解析： 暂无解析 -
第23题：
单选题设函数f（x）在（-∞，+∞）上是偶函数，且在（0，+∞）内有f＇（x）>0，f＂（x）>0，则在（-∞，0）内必有（）。Af＇（x）>0，f＂（x）>0
Bf＇（x）<0，f＂（x）>0
Cf＇（x）>O，f＂（x）<0
Df＇（x）<0，f＂（x）<0
正确答案： B解析： 暂无解析 -
第24题：
问答题设f（x），f′（x）在[a，b]上连续，f″（x）在（a，b）内存在，f（a）＝f（b）＝0，且存在c∈（a，b）使f（c）＞0。证明：必∃ξ∈（a，b）使f″（ξ）＜0。正确答案：
因f(x),f′(x)在[a,b]上连续,且c∈(a,b),则f(x)在[a,c]和[c,b]上满足拉格朗日中值定理的条件,故∃a<η1
由题设可知,f(c)>0,f(a)=f(b)=0,则f′(η1)>0,f′(η2)<0。
又f″(x)在(a,b)内存在,则f′(x)在[η1,η2]上满足拉格朗日中值定理的条件,故f′(η2)-f′(η1)=f″(ξ)(η2-η1)<0,其中ξ∈(a,b),从而f″(ξ)<0。解析： 暂无解析