问答题设函数f（x）在[0，1]上二阶可导，且f（0）＝f（1）＝0，证明：必∃ξ∈（0，1）使ξ2f″（ξ）＋4ξf′（ξ）＋2f（ξ）＝0。

【证明】(Ⅰ)因为f(x)是区间［-1，1］上的奇函数，所以f(0)=0.
因为函数f(x)在区间［0，1］上可导，根据拉格朗日中值定理，存在ξ∈(0，1)，使得
f(1)-f(0)=f'(ξ).
又因为f(1)=1，所以f'(ξ)=1.
(Ⅱ)【证明】(方法一)因为f(x)是奇函数，所以f'(x)是偶函数，故f'(-ξ)=f'(ξ)=1.
令F(x)=［f'(x)-1］e^x，则F(x)可导，且F(-ξ)=F(ξ)=0.
根据罗尔定理，存在

使得F'(η)=0.
由
(方法二)因为f(x)是［-1，1］上的奇函数，所以f'(x)是偶函数，
令F(x)=f'(x)+f(x)-x，则F(x)在［-1，1］上可导，且
F(1)=f'(1)+f(1)-1=f'(1)
F(-1)=f'(-1)+f(-1)+1=f'(1)-f(1)+1=f'(1)
由罗尔定理可知，存在η∈(-1，1)，使得F'(η)=0.
由F'(x)=f(x)+f'(x)-1，知
f(η)+f'(η)-1=0，f(η)+f'(η)=1.
(方法三)因为f(x)是［-1，1］上的奇函数，所以f'(x)是偶函数，f(x)是奇函数，由(Ⅰ)知，存在ξ∈(0，1)，使得f'(ξ)=1.
令F(x)=f'(x)+f(x)-x，则F'(x)=f(x)+f'(x)-1，
F'(ξ)=f(ξ)+f'(ξ)-1=f(ξ)
F'(-ξ)=f(-ξ)+f'(-ξ)-1=-f(ξ)
当f(ξ)=0时，f(ξ)+f'(ξ)-1=0，即f(ξ)+f'(ξ)=1.结论得证.
当f(ξ)≠0时，F'(ξ)F'(-ξ)=-［f(ξ)］^2<0，
根据导函数的介值性，存在，使得F'(η)=0.即f(η)+f'(η)-1=0
故f(η)+f'(η)=1.
【评注】本题是一道微分中值定理的证明题，其难点在于(Ⅱ)中辅助函数的构造.欲证f(η)+f'(η)=1，只要证f(η)+(f'(η)-1)=0，即，因此，应考虑辅助函数F(x)=［f'(x)-1]e^x；另一种思路是欲证f(η)+f'(η)=1，只要证f(η)+f'(η)-1=0，因此，应考虑辅助函数F(x)=f'(x)+f(x)-x.
方法三中用到达布定理即(导函数的的介值性)，这个定理不是<考试大纲》要求的考试内容，部分考生给出了此种解法，只要书写正确，不影响得分.

由于f'(x)>0，可知f(x)在(0，1)内单调增加．因此选B．

由于g(0)=f(0)，g(1)=f(1)，则直线y=f(0)(1-x)+f(1)x过点(0，f(0))和(1，f(1))，当f"(x)≥0时，曲线y=f(x)在区间［0，1］上是凹的，曲线y=f(x)应位于过两个端点(0，f(0))和(1，f(1))的弦y=f(0)(1-x)+f(1)x的下方，即f(x)≤g(x)故应选(D).
(方法二)令F(x)=f(x)-g(x)=f(x)-f(0)(1-x)-f(1)x，
则 F'(x)=f'(x)+f(0)-f(1)，F"(x)=f"(x).当f"(x)≥0时，F"(x)≥0，则曲线y=F(x)在区间［0，1］上是凹的.又F(0)=F(1)=0，从而，当x∈［0，1］时F(x)≤0，即f(x)≤g(x)，故应选(D).
(方法三)令F(x)=f(x)-g(x)=f(x)-f(0)(1-x)-f(1)x，

则 F(x)=f(x)［(1-x)+x］-f(0)(1-x)-f(1)x

=(1-x)［f(x)-f(0)］-x［f(1)-f(x)］
　　 =x(1-x)f'(ξ)-x(1-x)f'(η) (ξ∈(0,x)，η∈(x,1))
　　 =x(1-x)［f'(ξ)-f'(η)］
　　当f"(x)≥0时，f'(x)单调增，f'(ξ)≤f'(η)，从而，当x∈［0，1］时F(x)≤0，即f(x)≤g(x)，故应选(D).