单选题设A、B都是n阶非零矩阵，且AB＝0，则A和B的秩（ ）。A 必有一个等于0B 都小于nC 一个小于n，一个等于nD 都等于n
题目
单选题
设A、B都是n阶非零矩阵，且AB＝0，则A和B的秩（ ）。
A
必有一个等于0
B
都小于n
C
一个小于n，一个等于n
D
都等于n
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第1题：
设A为m×n矩阵，C是n阶可逆矩阵，矩阵A的秩为r1，矩阵B=AC的秩为r，则
答案：C解析： -
第2题：
设A，B是n阶矩阵，且B≠0，满足AB=0，则以下选项中错误的是：
答案：D解析：解根据矩阵乘积秩的性质，AB=0，有r(A)+r(B)≤n成立，选项A正确。AB =0，
-
第3题：
设A、B均为n阶非零矩阵，且AB=0，则R(A)，R(B)满足：
A.必有一个等于0 B.都小于n
C. 一个小于n，一个等于n D.都等于n答案：B解析：提示:利用矩阵的秩的相关知识，可知A、B均为n阶非零矩阵，且AB = 0，则有R(A)+ R(B)≤n，而已知为n阶非零矩阵，1≤R(A)≤n，1≤R(B)≤n，所以R(A)、R(B)都小于n。 -
第4题：
设A=
,B为三阶非零矩阵,且AB=O,则r(A)=_______.答案：1、2解析：因为AB=0，所以r(A)+r(B)≤3，又因为B≠0，所以r(B)≥1，从而有r(A)≤2，显然A有两行不成比例，故r(A)≥2，于是r(A)=2. -
第5题：
设A=
,且存在三阶非零矩阵B,使得AB=O,则a=_______,b=_______.答案：1、2 2、1解析：
，因为AB=O，所以r(A)+r(B)≤3，又B≠O，于是r(B)≥1，故r(A)≤2，从而a=2，b=1. -
第6题：
设
都是n(n≥3）阶非零矩阵，且AB=O，则r（B）=（ ）A. 0
B.1
C. 2
D. 3答案：B解析：
-
第7题：
设A，B均为n阶非零矩阵，且AB=0，则RA，RB满足（）。
- A、必有一个等于0
- B、都小于n
- C、一个小于n，一个等于n
- D、都等于n
正确答案:B -
第8题：
单选题A、B都是n阶矩阵，且A≠0，AB＝0，则|B|＝（ ）。A0
B1
C2
D3
正确答案： D解析：
由AB＝0，知矩阵B的列向量是方程组AX＝0的解，则r（A）＋r（B）≤n；又A≠0，故r（A）≠0，知r（B）＜n，所以|B|＝0。 -
第9题：
单选题A、B都是n阶矩阵，且A≠0，AB＝0，则|B|＝（ ）。A0
B1
C1/｜A｜
D｜A｜
正确答案： D解析：
由AB＝0，知矩阵B的列向量是方程组AX＝0的解，则r（A）＋r（B）≤n；又A≠0，故r（A）≠0，知r（B）＜n，所以|B|＝0。 -
第10题：
单选题设A、B都是满秩的n阶方阵，则r（AB）＝（ ）。A0
B1
Cn－1
Dn
正确答案： C解析：
由行列式，|AB|＝|A|·|B|且A、B均为满秩的n阶矩阵，则有|AB|≠0，即矩阵AB满秩，故r（AB）＝n。 -
第11题：
填空题设A、B都是满秩的n阶方阵，则r（AB）＝____。正确答案： n解析：
由行列式，|AB|＝|A|·|B|且A、B均为满秩的n阶矩阵，则有|AB|≠0，即矩阵AB满秩，故r（AB）＝n。 -
第12题：
填空题A、B都是n阶矩阵，且A≠0，AB＝0，则|B|＝____。正确答案： 0解析：
由AB＝0，知矩阵B的列向量是方程组AX＝0的解，则r（A）＋r（B）≤n；又A≠0，故r（A）≠0，知r（B）＜n，所以|B|＝0。 -
第13题：
设A、B均为n阶非零矩阵，且AB=0，则R（A），R（B）满足：A.必有一个等于0
B.都小于n
C. 一个小于n，一个等于n
D.都等于n答案：B解析：提示：利用矩阵的秩的相关知识，可知A、B均为n阶非零矩阵，且AB=0，则有 R（A）+R（B）≤n，而 A、B 已知为 n 阶非零矩阵，1≤R（A）≤n，1≤R（B）≤n，所以 R（A）、 R（B） 都小于n。 -
第14题：
设A、B都是n阶可逆矩阵，且(AB)2=I，则(BA)2的值为( )。
答案：A解析：已知(AB)2=I，即ABAB=I，说明矩阵A可逆，且A-1=BAB，用A右乘上式两端即可得解 -
第15题：
设矩阵
是4阶非零矩阵, 且满足
证明矩阵B的秩答案：解析：
-
第16题：
设
，B为三阶非零矩阵，且AB=0，则t=________.答案：1、-3.解析：由AB=0，对B按列分块有AB=A(β1，β2，β3)=(Aβ1，Aβ2，Aβ3)=(0,0,0)，即β1，β2，β3是齐次方程组Ax=0的解，又因B≠0，故Ax=0有非零解，那么
若熟悉公式：AB=0，则r(A)+r(B)≤n.可知r(A)<3.亦可求出t=-3.
【评注】对于AB=O要有B的每个列向量都是齐次方程组Ax=0的构思，还要有秩r(A)+r(B)≤n的知识. -
第17题：
设A为m×n矩阵，B为n×m矩阵，E为m阶单位矩阵，若AB=E，则
A.A秩r(A)=m，秩r(B)=m
B.秩r(A)=m，秩r(B)=n
C.秩r(A)=n，秩r(B)=m
D.秩r(A)=n，秩r(B)=n答案：A解析：本题考的是矩阵秩的概念和公式.因为AB=E是m阶单位矩阵，知r(AB)=m.又因r(AB)≤min(r(A)，r(B))，故m≤r(A)，m≤r(B). ①另一方面，A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，又有r(A)≤m，r(B)≤m. ②比较①、②得r(A)=m，r(B)=m.所以选(A) -
第18题：
设A、B都是n阶非零矩阵，且AB=0，则A和B的秩（ ）.《》（ ）A.必有一个等于0
B.都小于n
C.一个小于n，一个等于n
D.都等于n答案：B解析：由AB=0，知r（A）+r（B）≤n.又A≠0，B≠0，，则r（A）≠0，r（B）≠0，故r（A）＜nr（B）＜n. -
第19题：
单选题设A、B都是满秩的n阶方阵，则r（AB）＝（ ）。An－1
Bn
Cn＋1
Dn＋2
正确答案： A解析：
由行列式，|AB|＝|A|·|B|且A、B均为满秩的n阶矩阵，则有|AB|≠0，即矩阵AB满秩，故r（AB）＝n。 -
第20题：
填空题设n阶矩阵A的各行元素之和均为零，且A的秩为n-1，则线性方程组AX=O的通解为____.正确答案： X=k(1,1…,1)T解析：
由r（A）＝n-1，知方程组AX=0的基础解系只含有n-（n-1）=1个解向量．又矩阵A的各行元素之和为0，知（1，1，…，1）T，为AX=0的非零解，则方程组AX=0的通解为X＝k（1，1…，1）T． -
第21题：
填空题设，B为三阶非零矩阵，且AB＝0，则t＝____。正确答案： -3解析：
由B是三阶非零矩阵，且AB＝0，知B的列向量是方程组AB＝0的解且为非零解，故|A|＝0，解得t＝－3。 -
第22题：
单选题设A，B均为n阶非零矩阵，且AB=0，则RA，RB满足（）。A必有一个等于0
B都小于n
C一个小于n，一个等于n
D都等于n
正确答案： C解析： 暂无解析 -
第23题：
填空题设n阶矩阵A的各行元素之和均为零，且A的秩为n－1，则线性方程组AX(→)＝0(→)的通解为____。正确答案： X=k(1,1,…,1)T解析：
由r（A）＝n－1，知方程组AX＝0的基础解系只含有n－（n－1）＝1个解向量。又矩阵A的各行元素之和为0，知（1，1，…，1）T，为AX＝0的非零解，则方程组AX＝0的通解为X＝k（1，1，…，1）T。 -
第24题：
单选题设A，B都是n阶非零矩阵，且AB＝0，则A和B的秩（ ）。A必有一个等于零
B都等于n
C一个小于n，一个等于n
D都小于n
正确答案： B解析：
因为A，B都是n阶非零矩阵，所以A、B的秩≤n。若A的秩＝n，则A可逆。由AB＝0可知B＝0，与已知B是n阶非零矩阵矛盾，所以A的秩＜n。同理可推出B的秩＜n，故选D项。