填空题用回溯法解题的一个显著特征是在搜索过程中动态产生问题的解空间。在任何时刻，算法只保存从根结点到当前扩展结点的路径。如果解空间树中从根结点到叶结点的最长路径的长度为h（n），则回溯法所需的计算空间通常为（）

此题为判断题(对，错)。

试题四（共15分）

阅读下列说明和c代码，将应填入(n)处的字句写在答题纸的对应栏内。

【说明】

设某一机器由n个部件组成，每一个部件都可以从m个不同的供应商处购得。供应商j供应的部件i具有重量Wij和价格Cij。设计一个算法，求解总价格不超过上限cc的最小重量的机器组成。

采用回溯法来求解该问题：

首先定义解空间。解空间由长度为n的向量组成，其中每个分量取值来自集合{l，2，…，m}，将解空间用树形结构表示。

接着从根结点开始，以深度优先的方式搜索整个解空间。从根结点开始，根结点成为活结点，同时也成为当前的扩展结点。向纵深方向考虑第一个部件从第一个供应商处购买，得到一个新结点。判断当前的机器价格(C11)是否超过上限(cc)，重量(W11)是否比当前已知的解（最小重量）大，若是，应回溯至最近的一个活结点；若否，则该新结点成为活结点，同时也成为当前的扩展结点，根结点不再是扩展结点。继续向纵深方向考虑第二个部件从第一个供应商处购买，得到一个新结点。同样判断当前的机器价格(C11+C21)是否超过上限(cc)，重量（W11+W21）是否比当前已知的解（最小重量）大。若是，应回溯至最近的一个活结点；若否，则该新结点成为活结点，同时也成为当前的扩展结点，原来的结点不再是扩展结点。以这种方式递归地在解空间中搜索，直到找到所要求的解或者解空间中已无活结点为止。

【C代码】

下面是该算法的C语言实现。

(1)变量说明

n：机器的部件数

m:供应商数

cc:价格上限

w[][]：二维数组，w[i][j]表示第j个供应商供应的第i个部件的重量

c[][]：二维数组，c[i][j]表示第j个供应商供应的第i个部件的价格

best1W:满足价格上限约束条件的最小机器重量

bestC:最小重量机器的价格

bestX[]．最优解，一维数组，bestX[i]表示第i个部件来自哪个供应商

cw:搜索过程中机器的重量

cp：搜索过程中机器的价格

x[]：搜索过程中产生的解，x[i]表示第i个部件来自哪个供应商

i：当前考虑的部件，从0到n-l

j：循环变量

(2)函数backtrack

Int n=3；

Int m=3；

int cc=4：

int w[3][3]={{1,2,3},{3,2,1}，{2,2,2}};

int c[3][3]={{1,2,3},{3,2,1},{2,2,2}};

int bestW=8；

int bestC=0；

int bestX[3]={0，0，0}；

int cw=0；

int cp=0；

int x[3]={0，0，0}；

int backtrack(int i){

int j=0；

int found=0；

if(i>n-1){/*得到问题解*/

bestW= cw;

bestC= cp;

for(j=0；j<n；j++){

(1)____；

}

return 1；

}

if(cp<=cc){/*有解*/

found=1；

}

for(j=0； (2)____;j++){

/*第i个部件从第j个供应商购买*/

(3) ；

cw=cw+w[i][j]；

cp=cp+c[i][i][j]；

if(cp<=cc && (4) {/*深度搜索，扩展当前结点*/

if(backtrack(i+1)){found=1;}

}

/*回溯*/

cw= cw -w[i][j]；

(5) ；

}

return found;

}

从下列的2道试题（试题五和试题六）中任选1道解答。

如果解答的试题数超过1道，则题号小的1道解答有效。

【问题2】（7分）

考虑表4-1的实例，假设有3个物品，背包容量为22。图4-1中是根据上述算法构造的搜索树，其中结点的编号表示了搜索树生成的顺序，边上的数字1/0分别表示选择／不选择对应物品。除了根结点之外，每个左孩子结点旁边的上下两个数字分别表示当前背包的重量和已获得的价值，右孩子结点旁边的数字表示扩展了该结点后最多可能获得的价值。为获得最优解，应该选择物品 （5） ，获得的价值为 （6） 。

对于表4-1的实例，若采用穷举法搜索整个解空间，则搜索树的结点数为 （7） ，而用了上述回溯法，搜索树的结点数为 （8） 。

考虑表6—1的实例，假设有3个物品，背包容量为22。图6—6中是根据上述算法构造的搜索树，其中结点的编号表示了搜索树生成的顺序，边上的数字I／O分别表示选择／不选择对应物品。除了根结点之外，每个左孩子结点旁边的上下两个数字分别表示当前背包的重量和已获得的价值，右孩子结点旁边的数字表示扩展了该结点后最多可能获得的价值。为获得最优解，应该选择物品 (5) ，获得的价值为 (6)。

对于表6—1的实例，若采用穷举法搜索整个解空间，则搜索树的结点数为 (7) ，而用了上述回溯法，搜索树的结点数为 (8) .

【题目描述】

试题四（共15分）

   阅读下列说明和c代码，将应填入(n)处的字句写在答题纸的对应栏内。

 【说明】

   设某一机器由n个部件组成，每一个部件都可以从m个不同的供应商处购得。供应商j供应的部件i具有重量Wij和价格Cij。设计一个算法，求解总价格不超过上限cc的最小重量的机器组成。

   采用回溯法来求解该问题：

   首先定义解空间。解空间由长度为n的向量组成，其中每个分量取值来自集合{l，2，…，m}，将解空间用树形结构表示。

   接着从根结点开始，以深度优先的方式搜索整个解空间。从根结点开始，根结点成为活结点，同时也成为当前的扩展结点。向纵深方向考虑第一个部件从第一个供应商处购买，得到一个新结点。判断当前的机器价格(C11)是否超过上限(cc)，重量(W11)是否比当前已知的解（最小重量）大，若是，应回溯至最近的一个活结点；若否，则该新结点成为活结点，同时也成为当前的扩展结点，根结点不再是扩展结点。继续向纵深方向考虑第二个部件从第一个供应商处购买，得到一个新结点。同样判断当前的机器价格(C11+C21)是否超过上限(cc)，重量（W11+W21）是否比当前已知的解（最小重量）大。若是，应回溯至最近的一个活结点；若否，则该新结点成为活结点，同时也成为当前的扩展结点，原来的结点不再是扩展结点。以这种方式递归地在解空间中搜索，直到找到所要求的解或者解空间中已无活结点为止。

【C代码】

下面是该算法的C语言实现。

 (1)变量说明

 n：机器的部件数

 m:供应商数

 cc:价格上限

 w[][]：二维数组，w[i][j]表示第j个供应商供应的第i个部件的重量

 c[][]：二维数组，c[i][j]表示第j个供应商供应的第i个部件的价格

 best1W:满足价格上限约束条件的最小机器重量

 bestC:最小重量机器的价格

 bestX[]．最优解，一维数组，bestX[i]表示第i个部件来自哪个供应商

 cw:搜索过程中机器的重量

 cp：搜索过程中机器的价格

 x[]：搜索过程中产生的解，x[i]表示第i个部件来自哪个供应商

 i：当前考虑的部件，从0到n-l

 j：循环变量

 (2)函数backtrack

   Int n=3；

   Int m=3；

   int cc=4：

   int w[3][3]={{1,2,3},{3,2,1}，{2,2,2}};

   int c[3][3]={{1,2,3},{3,2,1},{2,2,2}};

   int bestW=8；

   int bestC=0；

   int bestX[3]={0，0，0}；

   int cw=0；

   int cp=0；

   int x[3]={0，0，0}；

 int backtrack(int i){

     int j=0；

     int found=0；

     if(i>n-1){/*得到问题解*/

        bestW= cw;

        bestC= cp;

        for(j=0；j<n；j++){

   (1)____；

   }

       return 1；

   }

   if(cp<=cc){/*有解*/

       found=1；

   }

   for(j=0； (2)____;j++){

      /*第i个部件从第j个供应商购买*/

   (3) ；

       cw=cw+w[i][j]；

       cp=cp+c[i][i][j]；

       if(cp<=cc && (4) {/*深度搜索，扩展当前结点*/

           if(backtrack(i+1)){found=1;}

       }

       /*回溯*/

        cw= cw -w[i][j]；

   (5)   ；

   }

   return found;

 }

   从下列的2道试题（试题五和试题六）中任选1道解答。

如果解答的试题数超过1道，则题号小的1道解答有效。

【问题 1】（8 分）

用回溯法求解此 0-1 背包问题，请填充下面伪代码中（1）～（4）处空缺。

回溯法是一种系统的搜索方法。在确定解空间后，回溯法从根结点开始，按照深度优先策略遍历解空间树，搜索满足约束条件的解。对每一个当前结点，若扩展该结点已经不满足约束条件，则不再继续扩展。为了进一步提高算法的搜索效率，往往需要设计一个限界函数，判断并剪枝那些即使扩展了也不能得到最优解的结点。现在假设已经设计了BOUND( v,w,k,W )函数，其中 v、w、k 和 W分别表示当前已经获得的价值、当前背包的重量、已经确定是否选择的物品数和背包的总容量。对应于搜索树中的某个结点，该函数值表示确定了部分物品是否选择之后，对剩下的物品在满足约束条件的前提下进行选择可能获得的最大价值，若该价值小于等于当前已经得到的最优解，则该结点无需再扩展。

下面给出 0-1背包问题的回溯算法伪代码。

函数参数说明如下:

W：背包容量；n：物品个数；w：重量数组；v：价值数组；fw：获得最大价值时背包的重量；fp：背包获得的最大价值；X：问题的最优解。

变量说明如下：

cw：当前的背包重量；cp：当前获得的价值；k：当前考虑的物品编号；Y：当前已获得的部分解。